从康德的观点看数学
作者陈克艰，原载《社会科学杂志》 2006年第3期 P56-66页
提要：康德在理性的根源处探讨数学和物理学「是怎样可能的」，《纯粹理性批判》的「先验感性论」和「先验逻辑」两部分，可以分别看作康德的「数学哲学」和「物理学哲学」。康德以「先验的位置论」分别给数学和物理学的可能性基础定位，数学属于验前的感性直观能力，物理学属于验前的知性判断能力。本文较细致地疏解了康德「数学哲学」的主要观点：数学的对象是验前的感性直观形式，数学概念是从纯粹直观中验前地「构成」的；并连类涉及其他一些问题。本文对康德看数学的观点与「逻辑主义」、「形式主义」的数学观也作了一些比较。
一、发题
杨振宁先生曾多次谈到数学与物理学的关系和区别，深刻触及了数学哲学和物理学哲学的根本问题。一方面，杨先生充分肯定数学与物理学的紧密联系。他说：「我欣赏数学家的价值观，我赞美数学的优美和力量……而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构。」[1]「最令人不可思议的是，数学的某些概念原来竟规定了统治物理世界的那些基本结构。」[2]「非阿贝尔规范场在概念上等同于纤维丛，纤维丛这一漂亮的理论是在与物理学界无关的情况下由数学家发展起来的，这对我来说是十分令人惊叹的事。」[3]「几何结构在物理学定律中起著重要的作用，这是一个众所周知的事实，虽然关于这件事的准确理由并没有被真正理解。」[4]数学的应用极其广泛，而杨振宁显然认为，数学之于物理学却远非只是「应用」，数学在物理学中实在是有著基本的重要性。数学与物理学的关系本质上不同于数学与其他学科的关系，对这一关系需要有一个「真正理解」。
然而另一方面，杨振宁用「奇迹的奇迹」、「令人不可思议」、「十分令人惊叹」这些强烈的语词表达他对数学与物理学和谐关系的感觉，恰恰表明他是把数学和物理学看作原本不同的两件事的。关于这一点，他也曾明确地说过不止一次。1979年，杨先生在爱因斯坦百年诞辰的一次纪念会上作报告，曾如是说：「虽然数学和物理学关系密切，但是，如果以为这两门学科重叠得很多，则是错误的。事实不是这样。它们各有各的目标和爱憎。它们有明显不同的价值观和传统。在基本概念上，二者令人诧异地具有某些共同的概念。然而，即使在这些方面，二者的生命力也向著不同的方向宾士。」[5]1992年，杨振宁接受张奠宙教授访问时又说了同样的话：「如果一个物理学家学了太多的数学，他或她将有可能被数学的价值观念所吸引，并因而丧失了自己的物理直觉。我曾把数学和物理之间的关系比喻为一对树叶，它们只在基部有很小的共有部分，而其余大部分是分开的。它们具有自己的目标和截然不同的价值观，以及不同的传统。在基本概念的层面，它们令人惊讶地共享某些概念，但是即使在那里，两个学科仍按各自的脉络生长著。」[6]
在这些话里，杨振宁实际上提出了这样的问题：作为人类理性的创造物，数学和物理学的本性是不同的，究竟如何区别？这是一个哲学问题，必须在理性的根源处考察，通过对理性的结构、理性活动的方式、理性与世界的关联作全面细致的分析和综合论述，然后顺理成章地将数学和物理学在理性的整体结构中准确定位，才能予以回答。康德的《纯粹理性批判》，可以说就是做的这步工作。康德的时代，数学和物理学的成绩，与今日相差不可以道里计，康德凭借当时如此之少的数学和物理学知识，却能洞幽烛微，根究本性，正反映了这位独步古今的伟大哲学家的深刻洞察力。本文只限于康德的「数学哲学」，疏解和讨论他的某些重要论点和表述，愚以为，了解康德怎样看数学，对于从哲学上理解数学与物理学的关系和本性上的区别，是必要的准备。
二、数学可能性的基础在纯粹验前直观
《纯粹理性批判》的「先验感性论」和「先验逻辑」两部分，从某种意义上可以分别看作康德的「数学哲学」和「物理学哲学」，所以，在通常认为是《批判》缩写本的《未来形而上学导论》[7]里，这两部分的标题分别变成了「纯粹数学是怎样可能的？」和「纯粹自然科学是怎样可能的？」。
「是怎样可能的？」，问题的这样提法极其耐人寻味。康德说：「既然实际上这些科学是存在的，那就十分适当地来问，它们是怎样成为可能的；因为它们『存在』这个事实已证明它们必定是可能的。」[8]一件事情已然存在，是现实的了，如果问「它是怎样成为现实的？」，那便是要求作历史因果的探索，是属于历史学的问题；而康德则问「是怎样可能的？」，对此，历史的探索无济于事，问题处在更深的层面。而且，并非任何的「可能」都值得去问一下「怎样」。买彩票中大奖，只有十万分之一的概率，某先生居然中了；有人说他手气好，有人说他运气好，姑妄言之未尝不可，但如果有人问「买彩票中大奖是怎样成为可能的？」，岂不是妄人故作深沉。可见，康德倾全力去追究「怎样」的那个「可能」，完全不同于通常可以用概率表示的可能，概率表示的可能属于「呈现原理」，康德所说的可能则属于「实现原理」；「呈现」是自然之事，「实现」是理性之事；自然的呈现，乃是委顺地演化，平铺地展开；理性的实现，则是逆觉地创生，立体地涌出。就数学和自然科学而言，其所以能「呈现」之理由和根据，只能植于理性之「实现」上。借用佛家「能所二取」的话头，我们可以说，康德的数学哲学，是从「能」的方面探明数学的源头；而二十世纪数学哲学中的逻辑主义和形式主义，则意欲在「所」的方面为数学筑基。康德看数学是活动，是理性在活动，逻辑主义和形式主义则看数学是现成的知识体系。康德的数学观包含在理性对自身的反思中，是理性的「伟大的自知」 （齐良骥先生语）之一部分，因而不辱哲学之使命；逻辑主义和形式主义，则仍是理性一往的运作，生造符号系统，重组数学知识，更像是数学内部的事业。
让我们且看康德怎样回答「数学是怎样可能的？」。在《未来形而上学导论》里，康德写道：「观察一下数学的性质就会看出来，它的可能性的第一的、最高的条件是：数学必须根据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是验前地把它的一切概念提供出来，或者象人们所说那样，构成这些概念。如果我们能够发现这种纯直观及其可能性，我们就会很容易解释验前综合命题在数学里是怎样可能的，从而也会很容易解释这门科学本身是怎样可能的。」[9]这段话可以作为康德关于数学本性的看法的总纲。康德的哲学十分难读，规模宏阔，义理精审，众多的概念和意思彼此关联、纵横结缔，必须将了解整体与深究细节结合起来，才能达到准确的理解。没有整体的了解，任何细节读起来都会觉得不知所云；没有细节的深究，「整体的了解」又会流于肤浅的公式化。上面这段不长的引文，相对于整体来说，不妨视为一个「细节」，里面就出现了「直观」、「纯粹直观」、「构成」、「综合判断」、「验前综合判断」这些在康德哲学的整体架构中占据重要位置的关键概念，只有在与别的相关概念的参照中把握了这些概念，才能疏通整段文字的意思；而整段文字的意思得以疏通，也能使这些关键概念的义蕴更加丰满、具体、精确。
这段引文的意思有两层：一、问「数学是怎样可能的？」，实际上也就是要问，验前综合判断在数学里是怎样可能的。二、为数学里的验前综合判断提供可能性的，是有待去「发现」的纯粹直观；而所谓「发现」纯粹直观，也就是在理性的整体结构中找到纯粹直观的位置，并究明它的功能。两层意思互相贯通，第一层意思里的问题在第二层意思里得到落实和回答。
先讲第一层意思。为验前综合判断奠定可能性基础，可以说是康德整部纯理批判的中心问题。首先，应区分综合判断与分析判断。康德说：「分析判断就是其述项与主项的联系是通过同一性而被思维的那些判断；而其主项与述项的联系不是由于同一性而被思维的那些判断则应称为综合的。」[10]康德又把分析判断和综合判断分别称作「说明的判断」和「扩大的判断」，「说明的判断」不扩大知识，而知识追求的目标应是「扩大的判断」，即综合判断。分析判断虽然「极为重要」而且「确为必需」，「但只是在为了要使那确实而广大的综合（即对于原有的知识能有真正新的增添）所必需的概念明晰时，才是重要的、必需的。」[11]
然后，应聚精会神于「验前综合判断」。验前相对于经验而言，验前，即不依赖于经验。理性有不依赖于经验从事综合判断的能力，质言之，理性从事验前综合判断的能力还反过来是经验知识之所以可能的条件。康德认为，「严格地称为数学的命题总是验前的而不是经验性的判断」，并且，「一切数学的判断，毫无例外，都是综合的。」[12]关于数学命题是验前判断似没有什么异议，而关于数学命题皆为综合判断则啧有烦言，二十世纪数学哲学中甚至有整一个学派（逻辑主义）与之对立，后文将略加申述。致于本质上属于经验性的自然科学（物理学），其一切判断皆为综合判断，乃是众所周知的事实，康德观点的特出处,在于看出了自然科学中「包含有验前综合判断为其原理」[13]；自然科学中当然多的是经验性的综合判断，但验前综合判断在其中起著骨干的、基础的、原理性的作用。因此，中心问题又一叉为二，分别考查「验前综合判断」在数学里和在自然科学里是怎样可能的，成了康德「数学哲学」和「物理学哲学」各自的中心问题。
再讲第二层意思，此层意思较多曲折。康德所谓「理性」有广、狭二义，广义的理性包括感性、知性和狭义的理性三个方面，之所以说「方面」而不说「层次」，是为了避免在三者之间存轩轾之意；狭义的理性主要从事推理和形成概念的工作，它实际上也行于感性、知性这两个方面。理性如果不守纪律，一往地作超验的运用，追求无条件的知识，就会造成形而上学的独断论，此点本文可以不谈。康德所云「数学必需根据纯粹直观」，这「纯粹直观」是定位在感性方面的。感性云何？可以在与知性的对举中明其义：感性是「接受表象的能力」，知性是「通过表象而知道对象的能力」[14]；而「表象之作为表象，在其本身来说，必不可理解为能存在于我们表象能力之外的对象」[15]，梦中的幻景，是表象而没有其对象，「以表象为对象」的说法，是把概念「绷开」了。感性接受表象的能力表现为直观，知性知道对象的能力表现为概念和联结概念的判断，概念及物，直观不及物；表象背后或有对象为其所依，但直观并不及此对象，及此对象的能力属于知性。感性、知性无先后之分，它们在及物的认识中是和同进行的。但确实有一种单独进行的直观，那便是纯粹数学所在的根据地、与「经验直观」相对的「纯粹直观」。康德说：「概念以思维的自发性为基础，而感性直观则以印象的感受性为基础。」[16]此处「自发性」即自己发生之意，也就是主动性。相对于概念能及物的主动性来说，经验的直观确实可以说是被动的。但是，「因为纯直观，作为验前直观，在一切经验或个别知觉之前就已经同概念不可分割地结合在一起了」[17]，纯粹直观与概念验前就已经在一起，一而二，二而一，纯粹直观就不能说是完全被动的了；只要一支铅笔，一张白纸就能工作的数学家，是最安静的人类，但他们所从事的，是从纯粹直观直接构成概念，实在是最积极、最主动的思想工作。
然而，果然有「纯粹直观」吗？上文所引、作为康德对数学本性看法之总纲的那段话，提出的任务，就是要求去「发现」纯粹直观。问题可以换一个提法：「纯粹直观」究竟「观」什么？纯粹直观也可说为验前的直观，即在任何经验性的事物出现之前，就已经在「观」了，那么，观什么呢？也还是康德自己的问法最确当：「怎样可能去验前直观什么东西？」「直观这种表象是直接根据对象的出现而产生的，因此似乎不可能验前地、原始地去直观」，「对象的直观怎样能够先于对象本身而存在？」[18]这真是一个难题。人称康德哲学是哲学上的「哥白尼廻转」，这里就是「廻转」的轴心。康德写道：「如果我们的直观在表象物的时候是按照物本身那样来表象的话，那么就绝对没有验前的直观，直观就永远是经验的。」[19]幸亏实际情况不是这样，实际情况是：感性是验前地带著自己的「形式」、通过「形式」去直观、去「接受表象」的，感性在「被动」地接受表象之前，就已「主动」地具备了自己的「形式」。康德说：「我的直观只有按照一种方式，才能够先行于对象的实在，并且被称为验前知识，那就是它只包含感性的形式，这种感性的形式在我的主观里先行于我被对象所感染的一切实在印象。」 「由此可见，对于感官对象来说，仅仅涉及这种感性直观的形式的命题是可能的，有效的。」[20]感性的这种验前形式就是空间和时间。经验直观包含著纯粹直观，经验直观在纯粹直观提供的条件下，即以空间和时间为「形式」，去观；纯粹直观则纯粹地「观」空间和时间形式；而数学，就是植根于纯粹直观、关于空间和时间「形式」的概念和命题的系统。数学的可能性基础于焉落实。有一个著名的比方，把感性的验前形式空间和时间比作「蓝色眼镜」，戴蓝色眼镜的人看什么东西都是蓝色的；感性作为人的认识能力的一个方面，验前地带著空间和时间形式，而且永远脱不下来，所以「直观」任何东西，那东西就一定在空间和时间中。这个比方有诸多不妥当之处[21]，但是用以强调康德哲学所完成的「廻转」，倒是十分有效。
三、数学概念是从纯粹直观中构成的
数学既然以纯粹直观验前必然带有的「形式」为其最终的可能性，数学概念和数学知识的形成便有其独特的方式；康德在数学与哲学的对显中揭示这一方式。他写道：「哲学的知识乃是理性从概念得来的知识；数学的知识却是理性从概念的构成而得来的知识。所谓构成一个概念，其意思就是指验前显示出来和这个概念相应的直观。」[22]这里，康德区分了「概念的论证的使用」和「概念的构成的使用」（即直观性的使用）两种方式。前者是哲学的，后者是数学的。
只能作「论证的使用」的概念是无法通过直观来显示的，「一个验前的概念，要么就是它本身已经包含著一种纯粹直观，要么就是它所包含的，只是未曾在验前被给予出来的可能直观的综合而已。在后一种情况下，就只能按照概念的论证方式，而绝不是通过概念的构成这种直观的方式来使用这个概念。」[23]康德举过这样的例子：「没有人能得到和实在性这个概念相应的直观」，「我不能在直观中表现一般原因这个概念」[24]。「实在性」、「原因」，都是哲学上的验前概念，且是内容丰富的综合性概念，虽然包含无穷多的「未曾在验前被给予出来的可能直观」，它们本身却并没有一个与之相应的直观，谁能「直观」到「实在性」本身或者「原因」本身呢？论证的使用方式，如果严格遵循逻辑规律，那就不能得出新的知识。而事实上，像「实在性」、「原因」这样的概念，在判断中使用，在叙说中使用，在论证中使用，一言以蔽之，都属于「论证的使用方式」，往往使用得相当随意，倒并不是违犯逻辑规律，而是越出了逻辑规律能够管辖的范围；由于理性内在具有追求终极的冲动，所以哲学对概念的「论证的使用方式」，容易越界，容易超验，产生独断论是并不奇怪的。
概念的论证性使用和构成性使用都能「扩大概念」，达到新的综合判断，获致新的知识；而数学概念是从「验前显示出来的直观」中提取的，这种独特的构成方式使数学上的综合判断具有充分的确定性、可靠性。康德此处又通过将「纯粹的直观」与「经验的直观」对比来说明这一点。他写道：「经验的直观使我们得以毫无困难地扩大概念，我们用直观的一个对象所构造的概念，其新谓项是直观本身在经验里所综合展示的。既然经验的直观能扩大概念，那么纯直观也同样能做到这一点；不同的是：在后一种情况下，验前综合判断是可靠的，而且是毫无疑问的；而在前一种情况下，它只有后天的经验的可靠性。因为，一个是只包含偶然经验的直观里所有的东西，而另一个却是包含纯直观里所必然有的东西。」[25]
一般认为，数学的本质特征就在于它的严格性、确定性，而数学之所以能严格和确定，端赖其演绎性的逻辑推理和逻辑论证；但一般又都说，逻辑演绎是不能扩大知识的。站在「逻辑」的立场上，这两点无论如何统一不起来，除非判定全部的数学都是无所谓的同义反复，数学家都是毕生说废话的好事之徒，这可真是天大的污蔑。但是从康德的观点看，数学的严格性、确定性建基于纯粹直观，演绎性的逻辑推理只是用概念的方式将纯粹直观所显现的事实表达出来，上述矛盾便消失了。数学家在直观和概念之间来回往复，既「扩大概念」，增进知识，又总是维护著数学知识的严格性和确定性，这是理性创造的奇迹。康德说：在数学里，「概念的构成是需要一种非经验性的直观的。非经验性的直观，就其是直观来说，必须是一个单一的对象，但是就其是概念的构成来说，它在其表象中必定表达一切归于同样概念的可能直观的普遍有效性。」[26]以三角形为例，用铅笔在纸上画一个三角形，三角形的纯粹直观就变成了「经验性」的直观，然而它表达「三角形」这个概念却毫无损伤，「因为在这种经验性的直观中，我们只考虑用来构成这个概念的活动，而抽去许多如果不改变『三角形』这个概念就完全不相干的种种确定（例如边与角的大小）。」[27]于是，康德写道：「哲学的知识所考虑的，是在普遍中的特殊，而数学的知识是考虑特殊中的普遍，或者甚至单一实例中的普遍」。[28]
抑犹有可申论者，不仅「单一实例」上成立的概念和判断可以因其为纯粹直观而毫无损伤地推广到同类的普遍，就是「单一实例」自身内，概念的扩大和知识的增多，也是靠的纯粹直观。学过几何的人都能体会，一道难题的证明，千思百想，呼之欲出，就是在某点上卡住了，此时只要有解人来一语提撕，或无言地划上一条辅助线，就一了百了，一通百通了。我们之所以被难住，是因为关于此题的纯粹直观中，某些部分间的联结，还没有直观到；而之所以能一点就通，则又因为关于此题，我们经过深思熟虑，先已形成了相当完整的纯粹直观，解人的一语一线，立即将尚处在隐晦中的联结性直观显现出来，难题就迎刃而解了。数学上概念联结成判断，判断联结成推理，背后都有纯粹直观为其所依，推理是表，直观是里，推理引发新的直观也所在多有，要在于，数学上概念的联结，是构成性的，是通过直观显示的，而不是通过对概念本身的内涵作竭泽而渔式的演绎。总之，数学概念的扩大，是由直观提供的；表达数学知识的命题只能是验前综合判断。
从纯粹直观构成的数学概念，与「实在性」、「原因性」这些知性的纯粹概念（范畴），两类概念都是验前的，康德的先验哲学对它们作了不同的处理。对数学概念与纯粹直观的关系，康德的办法是相对比较简单的「先验解释」；而对知性纯粹概念，康德进行了远为郑重其事的「先验演绎」。他自称：「我认为没有比我在『先验分析论』里列为第二章的『知性纯粹概念的演绎』中开始的研究更为重要的了。这些研究是化了最大的劳力的——我希望这不是徒劳无功的劳力。」[29]事实上，《纯粹理性批判》第二版里「先验演绎」这部分，是将第一版的相应部分全部推倒后重写的。康德将如此殚精竭虑的劳作仅视为「开始的研究」，可见他赋予「先验演绎」的地位有多重要。
「先验演绎」之为「演绎」，当然与常途所谓的「演绎」不是一个意思。康德通过与法律的类比来提挈「先验演绎」的主要意思：法律学者「把法律行为中的权利问题（quid juris）与事实问题（quid facti）分别开来；而且法律学者要求这两者都有证明。那种陈述权利或合法要求的权利问题的证明，法律学者称之为演绎。」[30]相应地，「说明概念能够在验前和对象发生关系的方式，我就称为概念的先验演绎。」「先验演绎」与「经验性演绎」的区别在于：「经验性的演绎是说明概念通过经验而且通过对经验的反思而得来的方式，因而就与它的合法性无关，而只与它的事实上起源的方式有关。」[31]数学概念从纯粹直观中构成[32]，并不和任何经验对象发生关系，或者说数学概念的「对象」就是纯粹直观的验前形式，它们之间的关系是简单的、直接的，所以原则上不发生对数学概念进行先验演绎的问题，用康德的话来说：「几何在完全验前的知识中稳步前进，并毋须向哲学请求给它任何关于空间这个基本概念的合法出生证。」[33]本文只从康德的观点看数学，「先验演绎」的具体内容不必涉及，但是注意到「先验演绎」对知性纯粹概念的极端重要性，却又原则上可以不行于数学概念，对于理解本文「发题」中提到的杨振宁先生关于数学和物理学本性不同、「二者的生命力朝著不同的方向宾士」的看法，提供了一个重要的角度。
有一种流行的批评认为，既然康德把数学的确定性、必然性归于纯粹直观，并且纯粹直观中的空间形式只能是三维的、欧几里德性的，那么非欧几何以及其他种种空间概念的成立就驳倒了康德的学说。这种批评是很肤浅的，是对康德思想简单化的误解。这里需要把各种几何学作为不同的概念系统与纯粹直观本身区分开来，几何概念系统的成立，已经是有知性的运作参与在感性里面了。试看康德所举的例：圆内相交的两条弦，其交点将各弦分为乘积相等的两部分；康德问道：「这条法则是在圆里呢，还是在知性里？也就是说：圆是不依靠知性、本身就含有这条法则的根据呢，还是知性按照自己的概念做成了圆本身，同时又把『诸弦以几何学比例而相交』这条法则加到圆上去的呢？如果我们把这条法则的证明拿来研究，我们很快就会看出，这条法则是只能从知性构成这一形状时所根据的条件中得来的。」[34]
此例中康德的想法很容易推扩，直线与直线平行是纯粹直观中的空间形式，知性把「经过直线外一点只能作一条直线与原直线平行」的概念规定性加诸此形式，就得出欧氏几何；而知性如把「经过直线外一点至少能作两条直线与原直线平行」的概念规定性加诸此一形式，就得出罗巴切夫斯基的非欧几何。致于知性在欧几里德之后两千年才想到「平行」这一空间形式可以有不同于欧氏第五公设的概念规定性，那是另外一个问题了。《纯粹理性批判》英译者、权威的康德研究专家N·K·斯密公允地指出，甚至在其「前批判」时期，康德就已经认识到「其他空间的可能性」，他写道：「康德诚然曾试图推论出空间的三维性格作为万有引力律的后果；但既然认识到那条自然律本身是武断的，他就作出结论说，上帝如果建成引力的不同关系，就会使之有不同属性与维度的种种空间。」[35]斯密引了康德青年时期（1747年，康德24岁）一篇文章里的话：「关于空间的这一切可能种类的科学，无疑会成为有限的知性在几何范围里所能承担的最高事业。」[36]这简直就是对欧氏几何之外别的几何学的明确预言和呼唤，怎么能说非欧几何的产生驳倒了康德关于数学的先验哲学呢？当然康德「批判时期」的写作，谈到空间形式和几何学问题时，存在某些表述模糊，或囿于当时知识、今日视之不免为歧出的地方，但这些并无损于康德整体思想的进展和明确性。康德如果活过来，看到非欧几何的出现，是不难将其表述略加修正、以匡未逮的。
四、逻辑主义小议
不妨看一下逻辑主义的数学基础工作，由此可以对显康德看数学的观点。逻辑主义的宗旨说起来很简单，就是要将全体数学作为一个概念和命题的系统最终归结为逻辑，形象地说，是要将整座数学大厦建筑在逻辑的地基上；当然关于逻辑要有明确的界定，就像建大厦的地基要四至明确一样。公认弗雷格是逻辑主义开派立宗的祖师爷，但由于历来数学推理的严格性要求，「逻辑主义」的思想倾向是早就有了的，甚至可以追溯到欧几里德的《几何原本》；弗雷格只是将这一倾向推到极点。
弗雷格说：数学「决不能否认自己与逻辑的密切联系」，「我赞成这样一些人的观点，它们认为将二者严格分开是不适宜的。人们同样要承认，对于推论的说服力或定义的合理性的一切研究必须是逻辑的。」「我也沿著这个方向，当然还要超出通常的做法。」他谈到数学家「通常的做法」，是在有「直接的需要」时引入新的定义，只要新的定义能「便当地用于一个证明」，便「把这个定义看作是充分可靠的。」弗雷格强调指出：「如果定义仅仅在后来由于没有遇到矛盾而被证明是有理由的，那么证明的严格性依然是一种假象」；「人们必须准备最终还是会遇到矛盾，而这个矛盾将使整个大厦倒塌。为此，我认为必需追溯到普遍的逻辑基础，这也许远远超出大多数数学家认为必要的程度。」[37]
这里表露了逻辑主义与康德数学哲学的根本歧点。数学家在研究中引入「定义」，往往是（在关键处几乎总是）根据直观，数学家不可能不这样做，这是理性在数学领域活动的方式，康德的数学观正是要揭明这一点。弗雷格的眼光则另有所瞩，他只关心概念和命题组成的整个数学系统是否包含矛盾，认为一有矛盾数学就会作废。如果把数学比作生命机体，那么，弗雷格就像一个过分敏感的医生，他容不得机体里有（甚至只是可能有）些许的病菌，他用来将数学归结为逻辑的整套做法，是医生检查机体的方法，而不是数学机体自身存在和活动的方式。后来罗素发现的悖论，与其说是从数学里查出来的，不如说是从这套检查方法中产生出来的，是这套检查方法「建构」的产物；数学家的创造性研究中根本不会用到这样的方法。
将数学的一部分「归结」为另一部分，以保证其严格性，这种表现「逻辑主义」倾向的做法古已有之。古希腊的毕达哥拉斯派认为「万物皆数」，数的本质主义既是毕氏学派的「世界观」，也是它的「数学哲学」，在它看来，数的理论乃是直抵宇宙万物之精微的学问。此一数学哲学引申出的「严格性」，便是要将几何归结为「数论」，所以当毕氏学派自己发现并证明的勾股定理明示不可公度量的存在，而只谈整数和整数之比的毕氏「数论」又无法容纳这种量的时候，「危机」便发生了。毕氏学派把不可公度量叫做「无理数」，作为秘密保守起来，严禁泄露，这固然反映了毕氏学派的宗教团体性质，同时也表示毕氏学派一方面固守其「数的本质主义」哲学立场，另一方面又有很强烈的系统严格性的意识。质言之，「第一次数学危机」，是「数学哲学」与数学的严格性追求之间出现冲突而发生的危机。
至于欧几里德，情况就反转过来了。《几何原本》是以几何为「原本」，这部被誉为「仅次于圣经」的数学经典，是将「数」经由「量」归结为「形」，或曰，是用「形」经由「量」来定义「数」。《原本》十三卷中，竟有整整五卷是做这个工作。以整数（包括整数之比）为基础，与不可公度量的矛盾便无法消解；而若以线、面等形状为基础，则可公度量与不可公度量不妨并存。《原本》区分「有理线段」和「无理线段」。「有理」、「无理」，虽不可公度；同为线段，则可以客观、共观、等量齐观，谁能够因为单位正方形的对角线与边不能公度，就说对角线比边少一点实在性呢？「数论」移筑到几何学的平台上，「无理数」不再因其与整数无法公度而遭蔑视，「无理数」也获得了存在的理据，几何之家为它签发了合法的出身证和居住证。《原本》将数及其运算作形状化的处理，进行得十分彻底，甚至使四则运算都失去了独立性：二数相乘只能理解为面积，三数相乘只能理解为体积，四数相乘被认为没有意义。现在仍旧把二次方叫做「平方」，三次方叫做「立方」，四次以上的方幂则没有另外的名称，可能就是《原本》这种处理方式在术语上的遗存。总之，欧几里德是通过将现成数学知识重组为一个逻辑系统，来解决第一次数学危机的，在这个系统内，原先公度和不可公度之间的矛盾被消解了。
从今天的标准看，《原本》的严格性远远不够，但这一点并不重要，重要的是，《原本》无论处理几何学还是处理几何与数论的关系，一以贯之始终不渝的追求是逻辑的严格性，这一点影响深远，至今广被。欧几里德之后不久的阿基米德，所为者却与欧几里德大相径庭。他在有关面积和体积的诸多问题上，提出「阿基米德公理」，发明「穷竭法」和颇类近代积分的方法，得出圆满的结果；他还有专门论述这些方法的《方法》一文，阿氏的方法都是既审慎又严格，但其严格性不是事后组织现成知识的逻辑的、封闭的严格性，而是从直观创出概念、发现新知识途径上的、开放的严格性。阿氏的作为，体现了数学的本真精神；而《原本》为后世人们塑造的数学形象中，则失落了数学精神最重要的因素——直观的创造性。阿基米德在后世的名声，不可以与欧几里德相比，但注意到一个事实是有趣的：菲尔茨奖章正面刻著的，正是阿基米德的头像。
王国维先生早年读康德，窒碍处又假途叔本华，他对康德哲学的理解，精确且深入，由是他对欧几里德的批评，能全秉直观说之立场，多方设譬，鞭辟入里。不妨征引几段。静安先生说：欧氏「仅与一切命题以名学上之根据，而由矛盾之原理以委曲证明之，故吾人不能得空间之关系之完全知识。如观鱼龙之戏，但示吾人以器械之种种作用，而其内部之联络及构造，则终未之示也。」[38]又说：「若于数学中，舍其固有之直观，而代以名学上之证明，与人自断其足而俟辇而行者何异？」[39]又说：「欧氏之数学，用名学之方法，全无谓之小心也。是犹夜行之人，视大道为水，趑趄于其旁之草棘中，而惧其失足也。」[40]静安先生的这些譬喻同样能用于（也许更能用于）对现代逻辑主义的批评。
逻辑主义的思路是：由于解析几何的发明，几何又可以「归结」为「数论」了；更由于实数系统可以借助集合论、从自然数得以严格地定义，并且每个「集合」对应一个「谓词」，集合论因此可以看作逻辑的一部分，剩下的问题就只是从逻辑概念导出自然数来。弗雷格和罗素解决这个问题的关键，用卡尔纳普的话来说，在于「对自然数的逻辑地位的正确认识，即，它们是归属于概念而不是归属于事物的属性」[41]。此处所谓「事物」，逻辑上可用个体元表示，所谓「概念」，其实就是逻辑上的谓词，「属性」当然也用谓词表示，于是，逻辑主义赋予自然数的「逻辑地位」，就是「谓词的谓词」，一种二阶谓词。请以「2」的定义为例。作为预备，首先要定义「2m」：
2m(f) = DF ( x)( y)〔~(x=y)·f(x)·f(y)〕 (1)
（按：上式等号右边前两个括弧内x、y前各有一个表示「存在」的逻辑符号，此处显不出，希见谅。）
用同样的方式，可以定义3m 、4m等等。（1）式左边表示2m是谓词f的谓词，即谓词f所具有的属性；f具有什么属性呢？（1）式的右边告诉我们，f具有至少有两个「事物」归属于它的属性；同理，f如果具有属性3m（或4m），那就至少有三个（或四个）「事物」归属于它。然后定义「2」：
2（f）= DF 2m(f)·~3m(f) (2)
（2）式的意思是：f具有「至少有两个、但并非至少有3个『事物』归属于它」的属性，现在这一属性就用二阶谓词「2」来表示。也可以用集合语言来说：2m是所有不少于二个元的集合的集合，3m 是所有不少于三个元的集合的集合，~3m 因此表示所有其元数少于三个的集合的集合，2m 与~3m 合取，于是2成了所有二元集合的集合。
逻辑主义的这套做法也可以说为「构造」，后来卡尔纳普将其推到极点，甚至要把整个世界也经由感觉语言的逻辑化「构造」出来；然而，有什么意义呢？我们只能说，这套做法只是为数学构造了一个精致的模型，在这个模型里，概念与直观是脱节的，它丝毫未曾触及任何直观的内容，它只是用一场单纯从概念到概念的游戏来重新「表述」来自直观的数学概念和定理，靠它根本不能真正发现任何数学定理，难怪有人不无讽刺地说，罗素是一位「从来没有证明过一个数学定理的数学家」。王国维先生的譬喻：「如观鱼龙之戏，但示吾人以器械之种种作用，而其内部之联络及构造，则终未之示也。」可谓一语中的的的确不刊之论。罗素发现悖论，写信告诉弗雷格，使弗雷格深感震惊，他在刚要出版的《算术的基本法则》第二卷末尾写道：「一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础跨掉了。当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。」[42]被罗素悖论弄垮了的，是弗雷格整套工作的基础，而不是数学的基础。事实上，还没有人发现过在数学家创造性的研究（包括证明）工作中所用的方法，与罗素导出悖论的方法之间，有什么内在的联系。罗素之于弗雷格，是以子之矛，攻子之盾，是逻辑主义自己在自相矛盾。幸亏这一矛盾只是局域性的，不像癌细胞那样会弥漫扩散，罗素能够用类型论来防止它。但是，类型论虽限制了矛盾的出现，却同时又限制了「逻辑」重新表述数学定理的能力，罗素不得不地又引进「可归约公理」来疏通逻辑与数学之间的渠道。「可归约公理」极其生硬，完全是特设性（ad hoc）的，人们不承认它是逻辑固有的规律。逻辑主义至此技穷。
早期曾经相信逻辑主义的维特根斯坦，后来反戈一击，颇能击中逻辑主义的要害。他说：「罗素式的逻辑证明，只在它也具有几何的说服力时，才是有说服力的。这样一种逻辑证明的缩略形式可能具有这种说服力，因此也是一个证明，而以罗素的方式充分展开的结构则不是证明」，「证明的逻辑确定性并未超过其几何确定性。」[43]维特根斯坦丰富的数学思想以笔记形式写下，往往索解为难，而上面引文的意思则很清楚，他区分「逻辑证明」与具有「几何的说服力」和「几何确定性」的证明，所首肯的是后者，这与弗雷格和罗素拚命追求建基于滴水不漏的最终逻辑基地上的重新证明（事实上也没有做到），显然大异其趣。维氏的「几何确定性」，与康德的「直观确定性」则应该是同一旨趣。他下面的一段话，更是直截了当地投了康德一票：「现在我能否说，把证明理解为对于被证明命题的『可构造性的证明』，在某种意义上是比任何别的理解更简单、更基本的理解。」[44]逻辑主义者试图通过只运用逻辑概念重新构造全部数学，来表明数学命题都是分析判断，关于这一点维特根斯坦又是站在康德一边，他机智地用活生生的数学事实来显示数学命题是综合判断（慧田哲学公号下回复数字该题讲座）。他这样写道：「数学命题的综合特征最明显地出现在这种情况下：素数的出现是不可预言的。」「它们是综合的，并没有妨碍它们是验前的。我要说，人们会认为它们不能得自于某种对于它们的概念的分析，倒实在是要靠综合来确定概念。」「素数的分布对于什么可以叫做验前综合的，会是一个理想的事例，因为人们会说，素数不可能靠对它作概念分析而发现。」[45]
维特根斯坦后期哲学关注的重点是「语言游戏」，他说：「我将把语言和活动——那些与语言编织成一片的活动——所组成的整体称作『语言游戏』。」[46]但维氏哲学不是语言理论，其目的恰恰是要治疗语言理论造成的对语言的误解。例如，语言理论会把用「a」、「b」标示数字、或标示石块、或标示颜色，都说成「标示」，维特根斯坦一针见血地指出：「人们把对语词用法的描述弄得相似了，但语词用法本身却没有因此变得相似。」[47]维氏哲学要将形形色色的「语言游戏」拉回到各自的「原始居所」进行考察，不同的「语言游戏」之间最多只能有「家族相似」，不可能有什么「共同的本质」；在这样的考察中也会发现，某些所谓「哲学问题」，其实是由于语言的误用而产生的。
维特根斯坦对数学的思考就体现了他的语言哲学的基本思想。数学是一种特殊的「语言游戏」，要理解数学的本性，必须体贴到数学语言和数学活动的本真状态上去。不理解数学的本性，任何理论都是无用的；而理解了数学的本性，则任何理论都是多余的；人们不能通过等待一种理论对数学获得根本理解。弗雷格和罗素为数学寻找逻辑基础，其实是在建立新的语言游戏，希尔伯特的形式主义「元数学」，其实也是在建立一种新的语言游戏。[48]然而，对一种游戏的理解却不能依赖构造另一种游戏。康德通过解剖理性的结构追溯数学之可能性的源头，维特根斯坦则多方、具体、细密地考察作为一种「语言游戏」的数学活动；为了理解数学的本性，对读这两位大哲，将会是十分有益并且有趣的。（刊于2006年第3期《社会科学》）
[1] 《杨振宁文集》，华东师范大学出版社，1998年4月第1版，P·739。
[2] 同上，P·214。
[3] 同上，P·242。
[4] 同上，P·281。
[5] 同上，P·315、316。
[6] 同上，P·740。
[7] 《导论》之于《批判》，实际上也出新意，并不只是缩写。例如，在纯粹知性概念的先验演绎中区分「知觉判断」与「经验判断」即是；尽管对此一区分，专家的评论不一。文德尔班盛赞之，认为关于「范畴如何『构制经验对象』」这问题，康德在《批判》中「陷入晦涩不明之中」，「但此昏暗之处却被《导论》的一个出色思想照亮了，在这里康德区分了知觉判断与经验判断。」（见氏著《哲学史教程》，罗达仁译，商务印书馆，1987年版，P·747）齐良骥先生则有保留；由于《导论》问世在《批判》第2版之前，而范畴的先验演绎部分，第2版是将第1版推倒重写的，所以《导论》中的这部分，还是第1版的面目，齐先生说：「A（第1版）中的重要缺点，在B（第2版）就完全为成熟的关于客体的观点所纠正和代替。在《导论》中，除了关于对象问题依然没有达到新的观点的水平以外，又出现了区分知觉判断与经验判断的新的重大困难问题。」（见氏著《康德的知识学》，商务印书馆，2000年版，P·164）
[8] 《纯粹理性批判》，韦卓民译，华中师范大学出版社，1991年版，P·50。
[9] 《未来形而上学导论》，庞景仁译，商务印书馆，1982年版，P·39。笔者偏爱韦卓民先生的译语，所以凡引非韦译康著，一些关键概念与韦译不同者，径据改；如a priori，韦译「验前」，他译多作「先天」，凡引文中出现「先天」处，均改为「验前」；特此申明，下不一一。
[10] 《纯粹理性批判》，P·42。
[11] 同上，P·45。
[12] 同上，P·46。
[13] 此语是《纯粹理性批判》导言第5节的标题。
[14] 《纯粹理性批判》，P·88。
[15] 同上，P·132。
[16] 同上，P·101。
[17] 《未来形而上学导论》，P·40。
[18] 同上。这里康德似乎又承认纯粹直观是有其「对象」的，但此须视为方便说法。康德行文中此类情况所在多有，这也是任何一个庞大而精确的思想体系在表述上难免的，关键在于「善读」。
[19] 《未来形而上学导论》，P·41。
[20] 同上。
[21] 关于用「蓝色眼镜」譬喻感性的纯粹验前形式，其有限的适用性和可能引入歧途的严重缺陷，齐良骥先生《康德的知识学》一书第2章有专门一节，作了详细精确的考察。
[22] 《纯粹理性批判》，P·607。
[23] 同上，P·611。
[24] 同上，P·608。
[25] 《未来形而上学导论》，P·39、40。
[26] 《纯粹理性批判》，P·607。
[27] 同上，P·608。
[28] 同上。
[29] 《纯粹理性批判》，P·8。
[30] 《纯粹理性批判》，P·118。
[31] 同上，P·119。
[32] 「构成」不是「抽象」，「构成」与「抽象」恰恰相反。数学概念不仅不是从经验对象中「抽象」出来，甚至数学概念普适性程度的提高也不是一个「抽象」过程。例如「群」的概念，当初伽罗华是从高次方程根的置换结构的对称性中直接而直观地「构成」的，然后才能说，「群」的结构也存在于整数的加法、正有理数的乘法、图形的旋转等等个例之中。
[33] 同上，P·120。
[34] 《未来形而上学导论》，P·94。
[35] 《康德〈纯粹理性批判〉解义》，N·K·斯密著，绰然译，商务印书馆1961年2月第1版，P·154。译者绰然即韦卓民先生。
[36] 同上。
[37] 《算术基础》，G·弗雷格著，王路译，商务印书馆，1998年8月第1版，P·8。
[38] 《王国维遗书》第五册，页三十五，上海古籍出版社，1983年9月第1版。
[39] 同上，页三十四、三十五。
[40] 同上，页三十六。
[41] 《数学哲学》，保罗·贝纳塞拉夫、希拉里·普特南编，商务印书馆，2003年2月第1版，P·49。
[42] 转引自胡作玄著《第三次数学危机》，四川人民出版社，1985年4月第1版，P·91。
[43] 《维特根斯坦全集》第7卷，徐友渔 涂纪亮译，河北教育出版社，2003年1月第1版，P·122。
[44] 同上，P·117。
[45] 同上，P·181。
[46] 《哲学研究》，维特根斯坦著，陈嘉映译，上海人民出版社，2001年7月第1版，P·8。
[47] 同上，P·10。
[48] 形式主义比逻辑主义的好处在于，它通过自身的演进认识到了自身的限度。哥德尔的「不完全性定理」是一招探底的绝活，探到了公理化、形式化处理数学问题的底线。公理化、形式化的框架无能承担数学活生生的生命机体，因而对数学本性的哲学理解也难有贡献。哥德尔探到了底线，因而能超越底线，他后来对数学的哲学思考，颇多可以与康德、维特根斯坦对话的亮点。
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