要问这二十多种方法里哪个最厉害，毫无疑问，非泰勒公式莫属. 当初我们学了「等价无穷小量代换」这个方法以后，有很多原来不会算的极限可以瞬间解决，把一些乱七八糟的函数换成了十分简单的 x 啊， frac{1}{2}x^{2} 啊. 有一个事实，「等价无穷小量代换」，其实就是泰勒公式展开的特例. 仅仅是特例就这么厉害，相信「泰勒公式展开」这整套方法一定更厉害的！当然，泰勒公式跟泰勒·斯威夫特没啥关系.

首先，什么是泰勒公式？麦克劳林公式又是什么鬼？泰勒公式就是一个任意可导函数用多项式近似表示的式子. 把一个函数按照后面讲的规则展开成多项式的过程，就是泰勒展开的过程. 泰勒展开有「在哪一点处展开」之说，如果你在 x=0 处展开，那越靠近 0，展开的项数越多，原来的函数和多项式值也就越接近. 在 x=0 处展开的泰勒展开式，又叫麦克劳林展开式. 看来麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊情况. 我们在极限运算中，常用到的还是麦克劳林展开式.那么怎么对一个函数进行麦克劳林展开呢？举一个具体例子：展开 sinx . 在这儿

只讲步骤，就不讲为什么了.

第一步，求出函数的各阶导函数. 对于 f(x)=sinx ,我们就有

第二步，求出函数在展开点的各阶导数值（麦克劳林展开的话就求 0 处的导数值）. 对于 sin x ，就有

看来是 0,1,0, 1四个数循环.

第三步，将各阶导数值代进麦克劳林公式

中去. 其中最后的 o(x^{n}) 是比 x^{n} 高阶的无穷小，在这里有个名字，叫「佩亚诺余项」. 对于 sin x 就有

最后加到x 的几次方，就再在最后加上一个比 x 的几次方高阶的无穷小，此时我们也就说

这是一个几阶的麦克劳林公式. 比如 sin x 的五阶麦克劳林公式就是

我们把高阶无穷小略去，就得到 sin x 的一个近似计算公式

而且我前面说了， x 越靠近 0，公式的精确度是越高的. 如果拿计算器检验一下，会发现 sin0.1 =0.09983341664 ......，而把 0.1 代进上述的近似多项式，会得到它的值是0.09983341666....这精确度很赞吧？

以下列举了几个常见函数的带佩亚诺余项的麦克劳林展开式（背过比较好）：

为了便于应用，以下是实用版本的麦克劳林展开式：

如果在做题时有更高阶的展开式的需要，可以自行推导并记住.

我们还是只讨论怎么用麦克劳林展开式计算极限. 对于在其它点处展开的一般的泰勒公式，在极限的计算中并不太常用，所以这里不讲了.

依然举具体例子，求极限

这道题用等价无穷小代换和洛必达法则也很简单：

接下来用泰勒公式法（实际上用的是麦克劳林公式，但大家习惯称之为泰勒公式法）来做这道题. 方法是：把分子分母展成相同阶数的麦克劳林公式，由于分母 sin^{3}x 比较容易利用等价无穷小代换变成 x^{3} ，所以我们考虑把分子展开成带佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式. 分子上的两项展开后分别是

所以它们相减应该是

其中一定要注意，两个比 x^{3} 高阶的无穷小相加或相减，还是比 x^{3} 高阶的无穷小

（这个一会儿会详细介绍）！

所以原极限

这乍一看好像比洛必达法则麻烦不少对吧？因为我出了一道简单题，而且一开始对这个方法还不熟练. 一会儿来一道麻烦的，就体现出泰勒展开法的优越性了.

在这里先对这个方法进行一点补充说明. 泰勒展开法解决的一般是当 x ightarrow0 时的极限，本质上就是「把分子分母都用多项式代替，再加一个比多项式中每一项都高阶的无穷小，使得当 x ightarrow0 时多项式里可以把 x 的低次幂全抵消掉，只留下一项，高阶无穷小直接略去，快速得到极限值」. 其中最关键的步骤就在于，怎么把一个函数展开，或者说需要我们展到几阶. 其实展开很容易，就是求导，对于一些简单的函数我们还可以直接背诵展开式，现在的问题是展到几阶比较合适呢？实际上，没有一个理论可以直接确定该展开到第几阶（有人总结出「上下同阶」「幂次最低」原则，事实上也只是做题经验而已，读者若感兴趣，可参照《张宇高等数学 18 讲》）. 那展开到什么程度为止呢？除了高阶无穷小，剩下的可以约分而且能剩下一个常数为止（（比如刚才的那题，除了高阶无穷小 o(x^{3}) ，剩下的可以把 x^{3} 约掉，剩下一个 frac{1}{3} ）.不过一般分子分母展开的阶数是相同的，如果你看到分母上是三次方的（即 x 的三阶无穷小），那分子也展开成三阶就好（上下同阶）.

有时候，我们需要展开的是两个简单函数相乘的形式，比如上面的 xcosx ，这时候其实不用逐阶展开，因为对函数的乘积求导太麻烦了. 我们可以直接背 cosx 的展开式，再乘上 x 就好. 再比如像三阶展开 sinxcdotsqrt{x+1} ，完全可以把 sinx 和 sqrt{x+1} 的公式背下来，都展到三阶，然后乘起来，把高于三阶的都略去，变成高阶无穷小 o(x^{3}) .在此介绍一下高阶无穷小的运算律：

作为练习，我们三阶展开一下 sinxcdotsqrt{x+1} .代前面公式再相乘有：

其中我用框圈出来的，都不要，因为框里的都是比 x^{3} 高阶的无穷小，所以合起来最后记作一个 o(x^{3}) 就行. 以后看见高于三次就直接不用写了，我写出来是为了让过程更清晰. 虽说看上去这过程挺麻烦的，但如果你自己展一个，会发现根本没有想像得那么困难.

再多的理论分析也不如「题感」，还是要多加练习. 这种方法可谓是很多极限的通法，如果学会了这方法，在极限这一方面你就很厉害了.

接下来实战一下，求一个前所未有的极限:

这道题我为了让大家看明白，写得啰嗦了点，做的时候不算麻烦的,非常简单.

这道题除了泰勒公式展开，我还暂时没想到别的办法，就算是用加减法的等价无穷小代换，分子也是会被消掉的. 看得出来，泰勒公式展开在处理一些复杂极限的时候，拥有著无可比拟的优越性，所以遇到很难很难的极限的时候，可以考虑用泰勒公式展开的方法，如果练得熟练，不会耗费很多时间，不过错误率也挺高的，因此应当多加练习. 当然，如果是很简单的极限题，就犯不著用这个方法了，否则就有些大炮打蚊子——大材小用的意味了.


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