欧拉公式的一个证明

作为历史上最著名的数学家之一，以欧拉的名字命名的公式非常的多，像 , $e^{ipi}+1=0$ 等等，但其中最著名的当属 $e^{ipi}+1=0$ . 由于这公式太过于完美，因此我们也把它称为上帝公式 .

回顾一下数学分析中实指数函数的定义， $e^{x}=lim_{n ightarrowinfty}(1+frac{x}{n})^{n}=lim_{n ightarrowinfty}sum_{n=0}^{infty}{frac{x^{n}}{n!}}$ . 我们现在把它推广到复数上面去，定义： $e^{z}=lim_{n ightarrowinfty}(1+frac{z}{n})^{n}=lim_{n ightarrowinfty}sum_{n=0}^{infty}{frac{z^{n}}{n!}}$ , 下面证明这样定义确实是合理的 . 我们只证明第一个极限存在，第二个极限的存在性证明可类比之 .

令，于是有 $(1+frac{z}{n})^{n}=(1+frac{x}{n}+frac{iy}{n})^{n}=[sqrt{(1+frac{x}{n})^{2}+frac{y^{2}}{n^{2}}}(cos heta_{n}+isin heta_{n})]^{n}$

其中 $heta_{n}=arctan{frac{frac{y}{n}}{1+frac{x}{n}}}=arctan{frac{y}{n+x}}$

利用数学归纳法可以证明公式 $(cos heta_{n}+isin heta_{n})^{n}=cos{n heta_{n}}+isin{n heta_{n}}$ . 现在记 $r_{n}=(sqrt{(1+frac{x}{n})^{2}+frac{y^{2}}{n^{2}}})^{n}$ ，从而有 $(1+frac{z}{n})^{n}=r_{n}(cos{n heta_{n}}+isin{n heta_{n}})$ . 从而 $lim_{n ightarrowinfty}{r_{n}}=lim_{n ightarrowinfty}({sqrt{(1+frac{x}{n})^{2}+frac{y^{2}}{n^{2}}})^{n}}=lim_{n ightarrowinfty}{e^{frac{n}{2}ln(1+frac{2x}{n}+frac{x^{2}+y^{2}}{n^{2}})}}=lim_{n ightarrowinfty}{e^{frac{1+frac{2x}{n}+frac{x^{2}+y^{2}}{n^{2}}}{frac{2}{n}}}}=e^{x}$ $lim_{n ightarrowinfty}{n heta_{n}}=lim_{n ightarrowinfty}{narctan{frac{y}{n+x}}}=y$ . 即 $(1+frac{z}{n})^{n}$ 的模收敛到 $e^{x}$ ,幅角收敛到