物理随机过程笔记（2）

本笔记仅作学习交流之用

连续型随机变数

概率累计函数

对于概率密度函数 ,我们规定其概率累计函数(Probability cummulative function) 为 $C(x)=int_{-infty}^{x}dxF(x)$ ，注意其中为引入的哑变数。是一个非递减函数，它的概率学意义在于它描述了当随机变数时的概率，因而有： ,

2.生存概率函数

生存概率函数，顾名思义，随时间增大而减小（Roger Jones教授原话：Probability of survival decreases with time)，概率学意义是在之前，事件不会发生的概率，因而： $P(x)=int_{x}^{infty}dxF(x)$

利用积分的定律，对于上述两种函数，易知： $F(x)=-dfrac{dP(x)}{dx}=dfrac{dC(x)}{dx}$

高斯分布（正态分布）

高斯分布不少人在高中甚至初中就学过，却很少有学生真正在高中就真正参悟到其中的原理的。Rojer Jones教授带领我们从积分开始入手，真正参悟到高斯分布的实质，使人大呼过瘾。

归一化条件

一元随机变数服从高斯分布，则有概率密度函数： $F(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}expleft( frac{-(x-mu)^2}{2sigma^2} ight)$ 其中是期望值。

对于其归一化条件的确认，首先，先证明将要用到的结论：泊松积分公式 $int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}dx=sqrt{pi}$

证明：令： $I_x=int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}dx$ $I_y=int_{-infty}^{infty}e^{-y^2}dy$ ,两者数学意义上等价

有： $I_xI_y=int_{-infty}^{infty}{e^{-x^2}}dxint_{-infty}^{infty}e^{-y^2}dy$ 转化成二重积分，有： $I_xI_y=int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}{e^{-x^2}}e^{-y^2}dxdy=int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}{e^{-(x^2+y^{2})}}dxdy$

转化到极坐标下，即 $r^{2}=x^2+y^2$ ,利用雅可比矩阵进行变数代换，则：

$I_xI_y=intint_{R}{re^{-r^2}}drd heta$ ，确定积分上下限，有： $I_xI_y=int_0^{2pi}int_{0}^{infty}{re^{-r^2}}drd heta=2piint_0^{2pi}{re^{-r^2}dr}=2pileft[ frac{-e^{-r^2}}{2} ight]_0^infty=pi$

故： $int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}dx=sqrt{pi}$ 证毕。

作变数代换： $t=frac{(x-mu)}{sqrt2sigma}$ ，有： $dfrac{dt}{dx}=dfrac{1}{sqrt{2}sigma}$

则易得： $int_{-infty}^{infty}{F(x)}dx=dfrac{1}{sqrt{2pi}{sigma}}int_{-infty}^{infty}{e^{-t^2}}{sqrt2sigma}{dt}=dfrac{1}{sqrt{2pi}{sigma}}sqrt2sigmasqrt{pi}=1$

故高斯分布归一化特征得证。

至此，笔者在高中对于正态分布的疑惑被解决，真是大快人心。

2.期望：

对于高斯分布之期望，欲证明

我们求积分：

$langle{x} angle=int_{-infty}^{infty}{xF(x)}dx=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}int_{-infty}^{infty}-xexpleft( frac{-(x-mu)^2}{2sigma^2} ight)$

令： $z=frac{x-mu}{sigma}$ 且 $dfrac{dx}{dz}=sigma$

则： $langle{x} angle=frac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^{infty}(sigma{z}+mu)expleft( dfrac{-z^2}{2} ight)dz=frac{1}{sqrt{2pi}}left(int_{-infty}^{infty}sigma{z}expleft( dfrac{-z^2}{2} ight)dz+int_{-infty}^{infty}{mu}e^{-dfrac{z^2}{2}}dz ight)$

奇函数积分结果为零，故： $langle{x} angle=frac{1}{sqrt{2pi}}left(int_{-infty}^{infty}{mu}e^{dfrac{z^2}{2}}dz ight)=mu{dfrac{sqrt{2pi}}{sqrt{2pi}}}=mu$

证毕。

注意其中，根据换元易知: $int_{-infty}^{infty}e^{-dfrac{z^2}{2}}dz=sqrt{2}sqrt{pi}$

3. 方差Variance

对于高斯分布之期望，欲证明：

求积分： $langle(x-mu)^2 angle=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}int_{-infty}^{infty}(x-mu)^2expleft( frac{-(x-mu)^2}{2sigma^2} ight)$

令： $a=dfrac{1}{2sigma^2},u=x-mu$

则： $frac{1}{sqrt{2pi}sigma}int_{-infty}^{infty}(x-mu)^2expleft( frac{-(x-mu)^2}{2sigma^2} ight)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}int_{-infty}^{infty}u^2expleft( -au^2 ight)du$

对于积分 $int_{-infty}^{infty}u^2expleft( -au^2 ight)du$ 我们可以采取分部积分法，但是太过繁琐复杂。这里引进费曼技巧，即积分符号内取微分，这种技巧十分好用。

观察积分式可得：

$int_{-infty}^{infty}u^2e^left( -au^2 ight)du=int_{-infty}^{infty}left(- dfrac{partial}{partial{a}}{e^{-ax^2}} ight)dx=- dfrac{partial}{partial{a}}left(int_{-infty}^{infty} e^{-au^2}du ight)$