给你一叠书

　　你能叠多宽

　　爱学（you）习（xi）的表妹又来到超模君家里，但超模君的家里停电没有wifi，于是无聊的表妹看着桌子上的书玩起了叠书游戏。

　　看着无聊的表妹玩无聊的游戏，无聊的超模君也一起加入了叠书游戏，毕竟数学界科普偶像，马丁·加德纳在《科学美国人》杂志特别介绍过这个数学游戏。

　　超模君66的叠书方式

　　我们先来看看这种摆法的最终结果：

　　看完了结果我们再来动手试一试，先拿多些书放到桌子上：

　　最简单的两本书摆法

　　我们假定每一本书是完全相同且质量均匀的长方体，宽度均X。

　　要想让两本书达到最宽，大家很容易就想到只要让第一本书的重心刚好落在第二本书的边缘，那么两本书能达到的最大宽度为（1+1/2）X

　　再来看看三本书

　　根据上面的结论，我们只要让上面两本书的总重心刚好落在第最下面书的边缘不就可以让宽度达到最大。

　　用力矩可以很简单地解决这个问题。首先，我们把第1、2本书的交点看为旋转轴，要想总宽度达到最大，需要让第 2、3本书的总重心在第1本书边缘，也就是说2、3本书处于刚好不会掉下来的状态。

　　从力矩的角度来看，第2、3本书处于力矩平衡状态，所以他们各自的力矩大小相等，方向相反。假设一本书的重量为mg，长度为1，力臂为Y，可以得出等式：

　　mg×Y= mg×（1/2-Y）

　　解得Y=1/4

　　四本书呢？

　　跟3本书一样，我们只需要把上面两本书看成一个整体，这个整体跟第3本书也可以看成一个力矩平衡状态，这样我们可以继续用力矩平衡来列等式.设力臂为Z，可以得到等式：

　　2mg·Z=mg·（1/2-X）

　　解得Z=1/6

　　既然表妹还没明白那我们就来看看这张图吧：

　　根据上图我们可以很容易地发现一个规律：

　　1/2=1/2×1，1/4=1/2×1/2，1/6=1/2×1/3。

　　根据这个规律可以得出总长度：

　　C=1/2·（1+1/2+1/3+……+1/n）·X

　　其实想要求书的最大宽度就只要知道调和级数是发散还是收敛，如果它是收敛的，那么它就有最大宽度；反之，宽度为无穷大，也就是说没有最大宽度。

　　那么调和级数是发散还是收敛的呢？超模君就在这里介绍一种简单易懂的证明方法

　　首先，我们来对比两串数列：

　　从图中可以发现，两个数列的个数都为n，并且调和级数第x位一定大于等于数列2的第x位（比如1/3＞1/4, 1/5＞1/8, 1/6＞1/8）。

　　在数列2中,当n趋近于无穷时可以发现，这是无数个1/2相加，所以数列2一定是发散数列。而调和级数大于数列2，所以调和级数也是发散的

　　在伯努利兄弟证明完后，数学大神欧拉发现：ln（n）和调和级数的和在n∞时，它们的值都趋于无穷大，但它们的差却是常数。

　　我们把它写成数学形式：

　　这串数字欧拉最大算到了小数点后6位。

　　数学大神——欧拉

　　到了1790年，一位意大利数学家——马歇罗尼算到了小数点后32位，在算的时候他觉得用常数c来命名太普遍了，于是干脆把c换成了希腊字母γ。

　　虽然后来人们发现他从第20位开始就是错的，但还是把常数γ命名为了欧拉——马歇罗尼常数（简称欧拉常数），现在人们利用计算机已经算到了小数点后48亿位。

　　意大利数学家——马歇罗尼

　　在巴洛克时期，建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和级数为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。

　　吉他中的泛音也跟调和级数有关，泛音点对应的就是调和级数。

　　但是除了1/2、1/3和1/4点以外，其他的泛音人们往往听不到，这是因为越小的泛音发出的声音就越模糊，导致发出的声响会被基音或者噪音盖住。

　　知识扩充

　　既然表妹跑了，那超模君就偷偷告诉大家一些更有趣的叠书问题：

　　按照调和级数叠书的方式又叫做对数堆叠，但对数堆叠并不是最优叠的方法，也就是说相同本书的情况下，还有其他摆法可以把书叠的更长。

　　一些最大长度叠法的例子：

　　3本书：

　　4本书：

　　19本书：

　　根据静力学定律，如果有n本书，我们可以得到4n个变量，6n个等式与不等式，这是一个非常大的计算量！

　　时至今日，我们通过计算机也只能计算出40本书的最优堆叠方式。