如何證明 [tan(3π/11)＋4sin(2π/11)]/√11＝1？
我們要用到著名的十一倍角分式：
記.
由十一倍角分式，有
簡單因式分解一下，
顯然，所以
我們再隨便乘一項
我們把它簡單移一下項，變成
兩邊因式分解
都是正的，開個根號
簡單變一下
同時除以
代入
即
這個和二次高斯和 有關：
其中 ，
是勒讓德記號：
於是令 ，三角函數可以用
表示：
合併起來：
謝邀
本來想碼個暴算的，發現自己計算能力下降過快...
放一個在MSE上看到的有意思的結論
令 即為所求
構作複數
則有 現利用以下公式
其中， 如此則有
於是
卸腰_(:зゝ∠)_
令 ，則
。直接計算可得
和
，於是
，整理之後利用
即證。
一時想不到好辦法，於是暴力破解。
前半部分是想辦法整理成我熟悉的、關於tan的整式。
後半部分是常見手法，用這個可以直接搞定tan連乘式或tan平方和式的求值。做多了手法就記住了，所以說「我熟悉」。
兩者對比，破解。
p.s. 題目中兩者相除等於1.0是什麼鬼？是要告訴我們用浮點數而不是代數式嗎？
補幾個拓展：
就是解方程
參考：
https://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0709/0709.3755v1.pdf?arxiv.org不會用知乎的公式輸入法……只能手打到Word裡面截圖上來。
原式：
先把tan化成sin和cos（這個思路還算是比較基礎吧？）：
看到出現了兩個不同角三角函數的乘積，果斷用積化和差幹掉（不記得普高有沒有了，沒有的話去網上找找）：
現在式子總體比較清爽，唯一一個不爽的東西就是根號。那咱就平方（也不算是複雜的想法吧）：
然後展開，這是比較痛苦的一步，所以估計應該有不需要展開的更巧解：
這一步可能有點難想到，左右兩邊加一個右邊的cos平方把左邊單獨的sin平方幹掉：
然後用半形/逆二倍角公式幹掉平方，用積化和差幹掉交叉項：
整理，負號相加不好看把負號乘到右邊去。還別說，整理完了還挺清爽的：
接下來就成了一道競賽常見的三角函數題了。這個處理方法沒見過的人幾乎肯定不會。看到現在cos裡面的角度已經變成了等差數列，所以兩邊同時乘一半公差的sin：
展開括弧，然後用積化和差發現：
sinΠ=0，中間全部抵消，幹掉之後得：
證畢。
後話：看題主這個截圖感覺題目有可能是給了分子求分母的感覺，這樣的話這種方法估計沒法很自然的想到答案。但是如果只是證明等式的話這種方法總體還是可行的。
補充1：如果考試的時候這麼寫會很不嚴謹，理論上推導過程應該是從下往上，但是因為這些等式變形都是互相為充要條件，所以雖然我寫的是從上往下推，但邏輯上從下往上也可以推導。或者也可以在每一步推導前面都加一個等價符號。
我想到的是把三角函數都變成指數，然後大力出奇蹟…
瀉藥。
又是這種問題，我依然給出手算性為0的解答。
pi前面的係數是有理數，那麼這是代數數，我們很困難地得到：
tan3pi/11=(i(1+(-1)^(5/11)))/((-1)^(5/11)-1)
sin2pi/11=-1/2(-1)^(7/22)((-1)^(4/11)-1)
計算即得。
值得一提的是，上面的解是可以手算的，求minimal polynimial即可。下面不假說明地給出：
tan3pi/11是x^10-55x^8+330x^6-462x^4+165x^2-11的一個根；
sin2pi/11是1024x^10-2816x^8+2816x^6-1232 x^4+220 x^2-11的一個根。
上述多項式應該算錯了，僅供參考。
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