问问大佬经济学的问题？
有两个人抢银行，被抓到了。两个人分开审问，如果两个人同时说真话，那就没有价值，都被判九年。如果其中一个人说了真话，另一个人说了假话，那么真话的人被判两年，假话的人被判五年。如果两个人都说了假话，那么将没有机会出来。如果是你，会怎么选择？
实验本身需要具有合理性，你觉得这个实验合理吗？宝贝
目录
AssumptionsSet-upStrategic FormPure Strategy Nash EquilibriumMixed Strategy Nash EquilibriumRepeated Game
不认真审题啊都！别管错没错，既然出了就按照这个set up来看呗！
大家都说是囚徒困境……这其实明明是Battle of Sex嘛！！正好来复习一下。纯属娱乐，勿喷！
先码一下再追更！
Assumptions
题目给的条件很笼统，为了严谨一点，我们做一些简单的假设。
【Assumption 1】假设每个人的payoff和所盼年数是完全负相关的。这个条件很重要，因为万一两个人中有人觉得……
进了里面个个都是人才，说话又好听，超喜欢在里面。
也就是说，每个人的felicity function为
表示所判年限。
这样的felicity function是否合理值得讨论，后面如果我还有兴趣的话可以试试放宽这个条件。
【Assumption 2】假说两个人还可以活50年。题目里还有个条件不是很明确：
如果两个人都说了假话，那么将没有机会出来。
如果我没理解错的话，楼主指的是无期。人的预期寿命是有限的，因此我认为假设这时候的payoff为 并不是十分合理。如果说人的预期寿命是70岁，两人抢银行时是20岁（年轻气盛hh），那么两人预期还可以活50年这个假设还可以接受。也就是说，当两个人都说假话时，payoff是
。
当然这个assumption也可以放宽，但是为了简单还是先用著。
Set-up
博弈里的三个元素：
- Players：
（假设把两个人编号成1和2）
- Strategies：每个人都有两个策略。说真话（Truth）写作
，说假话（Lie）写作
。策略集合用
表示，
是player编码。
- Payoffs：我们用小写的
表示player
的纯策略，
。此外，为了表达payoff function，我们用
来表示player
在给定对手策略的情况下选择
的收益。
Strategic Form
| 1 2 | 真话（T） | 假话（L） |
|---|---|---|
| 真话（T） | -9，-9 | -2，-5 |
| 假话（L） | -5，-2 | -50，-50 |
Pure Strategy Nash Equilibrium
知乎表格竟然不能划线加粗……那我写一下。
先定义一下best response：best response 是在给定对手策略的情况下可以让player获得最高payoff的策略，表示成一个关于 的函数：
如果有一个策略组合，在给定对手策略的情况下两个人都是Best response，那么那个策略组合就是Nash equilibrium（NE）。
- 当player 2选
时，
- 当player 2选
时，
- 当player 1选
时，
- 当player 1选
时，
所以有两个NE： 。
Mixed Strategy Nash Equilibrium
现在允许玩家在一定概率下选择策略（mixed strategy）。
假设player 选择
的概率是
。
- 给定
，player 2选择
的预期收益为
- 给定
，player 2选择
的预期收益为
如果player 1选择 ，则说明
，
即
同理， 。
所以mixed strategy NE是 。此策略下，两个人的payoff是
，仅仅比
稍微强一点，因为
这个策略太差了……即使只有一点点可能性，也会降低预期收益很多，这导致混合策略向
策略倾斜很多。
Repeated Game
如果允许重复博弈的话呢？
好像因为有个 重复博弈奇奇怪怪的……那我们假设他们子承父业吧！儿子的选择会受到父亲之前选择结果的影响，但这个影响随著时间会减弱：爷爷辈的选择相比爸爸辈的选择影响更小。假设这个discount factor是
。
我们之前提到mixed strategy NE 的payoff是比 pure strategy NE要更差的。
我们可以把几个策略画在图上：
其中，橙色的两个点是（-9, -9）和（-110/13，-110/13）。
我们放大左上角，根据 Nash Threat Folk Theorem，整个橙色区域（没标点的位置，你们大概体会一下）里的payoff组合在infinite repeated game下都存在相应的 使其成为subgame perfect equilibrium。
懒惰了……之后佛系再更。
囚徒困境的题不是这么出的，一个真话一个撒谎，撒谎的人判的时间很长。
你这题直接就是向著撒谎去的。问题出错了！联系看看博弈论中的囚徒困境！
经济学里做实验可是要有真实激励的哈哈哈，付钱才能看出真的选择，否则说了都是白说。
这也不是囚徒困境啊，不过要说的话分类讨论看看。
假设囚徒A说真话，B有可能判9年（真）或者2年（假）。
假设囚徒A说假话，B有可能判5年（真）或者无期（假）。
并不存在纳什均衡。
这时候感觉只能假设两囚徒是风险中性的纯以期望做判断。
A说真话，可能被判9年或者5年。
A说假话，可能被判2年或无期。
A会选择说真话，B也一样。
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