問問大佬經濟學的問題？
有兩個人搶銀行，被抓到了。兩個人分開審問，如果兩個人同時說真話，那就沒有價值，都被判九年。如果其中一個人說了真話，另一個人說了假話，那麼真話的人被判兩年，假話的人被判五年。如果兩個人都說了假話，那麼將沒有機會出來。如果是你，會怎麼選擇？
實驗本身需要具有合理性，你覺得這個實驗合理嗎？寶貝
目錄
AssumptionsSet-upStrategic FormPure Strategy Nash EquilibriumMixed Strategy Nash EquilibriumRepeated Game
不認真審題啊都！別管錯沒錯，既然出了就按照這個set up來看唄！
大家都說是囚徒困境……這其實明明是Battle of Sex嘛！！正好來複習一下。純屬娛樂，勿噴！
先碼一下再追更！
Assumptions
題目給的條件很籠統，為了嚴謹一點，我們做一些簡單的假設。
【Assumption 1】假設每個人的payoff和所盼年數是完全負相關的。這個條件很重要，因為萬一兩個人中有人覺得……
進了裡面個個都是人才，說話又好聽，超喜歡在裡面。
也就是說，每個人的felicity function為
表示所判年限。
這樣的felicity function是否合理值得討論，後面如果我還有興趣的話可以試試放寬這個條件。
【Assumption 2】假說兩個人還可以活50年。題目裏還有個條件不是很明確：
如果兩個人都說了假話，那麼將沒有機會出來。
如果我沒理解錯的話，樓主指的是無期。人的預期壽命是有限的，因此我認為假設這時候的payoff為 並不是十分合理。如果說人的預期壽命是70歲，兩人搶銀行時是20歲（年輕氣盛hh），那麼兩人預期還可以活50年這個假設還可以接受。也就是說，當兩個人都說假話時，payoff是
。
當然這個assumption也可以放寬，但是為了簡單還是先用著。
Set-up
博弈裏的三個元素：
- Players：
（假設把兩個人編號成1和2）
- Strategies：每個人都有兩個策略。說真話（Truth）寫作
，說假話（Lie）寫作
。策略集合用
表示，
是player編碼。
- Payoffs：我們用小寫的
表示player
的純策略，
。此外，為了表達payoff function，我們用
來表示player
在給定對手策略的情況下選擇
的收益。
Strategic Form
| 1 2 | 真話（T） | 假話（L） |
|---|---|---|
| 真話（T） | -9，-9 | -2，-5 |
| 假話（L） | -5，-2 | -50，-50 |
Pure Strategy Nash Equilibrium
知乎表格竟然不能劃線加粗……那我寫一下。
先定義一下best response：best response 是在給定對手策略的情況下可以讓player獲得最高payoff的策略，表示成一個關於 的函數：
如果有一個策略組合，在給定對手策略的情況下兩個人都是Best response，那麼那個策略組合就是Nash equilibrium（NE）。
- 當player 2選
時，
- 當player 2選
時，
- 當player 1選
時，
- 當player 1選
時，
所以有兩個NE： 。
Mixed Strategy Nash Equilibrium
現在允許玩家在一定概率下選擇策略（mixed strategy）。
假設player 選擇
的概率是
。
- 給定
，player 2選擇
的預期收益為
- 給定
，player 2選擇
的預期收益為
如果player 1選擇 ，則說明
，
即
同理， 。
所以mixed strategy NE是 。此策略下，兩個人的payoff是
，僅僅比
稍微強一點，因為
這個策略太差了……即使只有一點點可能性，也會降低預期收益很多，這導致混合策略向
策略傾斜很多。
Repeated Game
如果允許重複博弈的話呢？
好像因為有個 重複博弈奇奇怪怪的……那我們假設他們子承父業吧！兒子的選擇會受到父親之前選擇結果的影響，但這個影響隨著時間會減弱：爺爺輩的選擇相比爸爸輩的選擇影響更小。假設這個discount factor是
。
我們之前提到mixed strategy NE 的payoff是比 pure strategy NE要更差的。
我們可以把幾個策略畫在圖上：
其中，橙色的兩個點是（-9, -9）和（-110/13，-110/13）。
我們放大左上角，根據 Nash Threat Folk Theorem，整個橙色區域（沒標點的位置，你們大概體會一下）裏的payoff組合在infinite repeated game下都存在相應的 使其成為subgame perfect equilibrium。
懶惰了……之後佛系再更。
囚徒困境的題不是這麼出的，一個真話一個撒謊，撒謊的人判的時間很長。
你這題直接就是向著撒謊去的。問題出錯了！聯繫看看博弈論中的囚徒困境！
經濟學裡做實驗可是要有真實激勵的哈哈哈，付錢才能看出真的選擇，否則說了都是白說。
這也不是囚徒困境啊，不過要說的話分類討論看看。
假設囚徒A說真話，B有可能判9年（真）或者2年（假）。
假設囚徒A說假話，B有可能判5年（真）或者無期（假）。
並不存在納什均衡。
這時候感覺只能假設兩囚徒是風險中性的純以期望做判斷。
A說真話，可能被判9年或者5年。
A說假話，可能被判2年或無期。
A會選擇說真話，B也一樣。
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