第一次學習Galois理論的時候我看的是Jacobson《Basic Algebra》第四章，但現在讓我推薦的話，我可能更偏向於Hungerford的Algebra（GTM73）。

這本書在介紹Galois理論時，將Galois Pairing中的兩個互逆映射用「撇」來表示，減少了（較為混亂的）符號對思維的干擾，提高了閱讀效率。

GTM73的行文風格我也比較喜歡，他證明某個定理時常常會先說：如果有A成立，那麼balabala所以B成立，最後我們來證明A成立，balabala，證明結束。這樣子能讓讀者更容易理清作者的思路。

另外個人覺得GTM73對可分性、分裂域還有循環擴張的介紹也更系統清晰一點。

Joseph Rotman寫過一本小書，就叫做《Galois Theory》，幾乎可以算是self-contained的（當然你要是群和環一點都不會那還不到學galois theory的時候）。習題的難度也剛剛好，而且定理的表述和證明的處理也很乾凈。

GTM里有一本Patrick Morandi寫的《Field and Galois Theory》。他跟Rotman一樣，也是self-contained的，因為他們那個學校把域論放在群論和環論之前（什麼神必操作？）。這本書比Rotman講得要深，infinite extension的情形也講了。一般第一門抽代課是不講這個的。假如不是代數方向的話我估計這本書就是一個數學學生代數知識的巔峰了。

還有一本比較少人聽說過的，但是我覺得很好的書是Fenrick寫的《Introduction to the Galois Correspondence》。這本書包含了一些前面那基本沒有的一些很具體的計算。雖然很基礎但是如果沒有考慮過那些問題的話不一定就會做。我記得之前在知乎上看到有個美本的連有限域上的一個很具體的多項式的galois group都不會算，不得不讓人懷疑是不是學了假的galois theory。

Dummit and Foote太厚了，我完全沒有看的慾望。除非是作業集里有那本書上面的題，否則我翻都不想翻。類似的還有Jacobson。

其實整個抽代課都可以配合著代數數論一起上的，或者先上一半抽代課再去開坑代數數論。不知道為什麼以前沒有人告訴過我還有這種操作。

一般不是很喜歡開書單的，這次是個例外。我中學的時候非常喜歡初等數論，所以即使後來領我入門的那幾個代數學家再怎麼試圖糾正我的觀念，我都對代數非常不屑。直到galois correspondence之後才開始慢慢接受這些東西的。

不清楚題主想學習的是現在抽代課程中 也是後來科班數學人常用的Galois理論

還是指Galois本人建立的那種為解決根式解方程創立的理論

首先告訴大家的一點是 今天我們用的Galois理論就是指：擴域的子域與Galois群的（閉）子群間的一一對應。就是Galois對應。

除此以外的內容都是它的應用。

而原始的Galois本人使用的Galois理論當然經過後人提煉得出本質也就是Galois對應 但所用形式與今天常見的很不相同。

今天常用的形式有個回答說了 是經過E.Artin改造過的。（那個答案因此推薦E.Artin自己的notes學習Galois理論 我不贊同 這點之後說）

如果你想學習Galois本人的那種Galois理論 相信這也是很多沒學過但慕名想學的人指的東西 那麼看這本

就是按照歷史上Galois創立的 未經過E.Artin等人改造的Galois理論 其附錄還有Galois原始論文的翻譯

如果想學習今天常用的Galois理論 也即以Galois對應為核心的Galois理論 那麼首推李文威《代數學方法》的相關章節

我真正學懂Galois理論就是看的此書 此前看過諸如E.Artin等人的書都沒入門 原因在於「只見樹木，不見森林」。而李文威的書僅這部分而言 很清晰地告訴你主線就是Galois對應 其它不過是它的應用。最重要的是 李文威的書充分範疇化 至少在這個部分這樣做有助於更清楚地看出Galois對應的本質 也就為以後學習更廣泛意義下的Galois理論打下基礎（Grothendieck的Galois理論）

但是李文威的這一部分前置知識是域論基本概念 也就是他前一章的內容 這塊我當初是看的Serge lang的《Algebra》相關章節 而不是看的李文威 因為我覺得李文威講的太多太難了

所以你可以按我的學習方式來

但李文威這部分主要是為了科班以後的應用 而不是講很多想學習Galois理論的人關心的「如何用Galois理論解決歷史問題（五次以上一般方程不可根式求解 尺規作圖不可能等問題）」

想了解這些的我推薦看這本

事實上這本是我見過的最簡單但是非常全面的域論 Galois理論教科書

覺得李文威 Lang的書太難了的朋友都可以看這本 裡面不僅講了Galois理論 以及它所需要的域論基礎 以及它的應用 還講了一點超越擴張的東西 （但是無窮Galois擴張我還是認為看李文威最好 他的講法 符號更能體現本質）

最後說一下 為啥不推薦E.Artin的書

其實E.Artin是我偶像 我最敬佩的三個數學家分別是F.克萊因 高木貞治 和E.Artin

E.Artin所有書都可以說是精品(至少我看過的Galois理論 Gamma函數 Geometric Algebra Algebraic numbers 還有Algebraic numbers and Algebraic functions（和前一本不是一本書））也是後來相關主題書籍的範本

就是說後來相關論題的書基本都是以E.Artin的著作為原型改寫的

但是也正因此 後來改寫的書往往更易讀 E.Artin的書怎麼說呢？它是傑作 就是那種讓你從頭到尾一下讀完 一氣呵成的著作 但如果你沒法一下讀完 你就會有一種破碎感 就是說你似乎只是驗證了一個個命題 但不知道要幹什麼

E.Artin總是這樣 他前面所有命題都只為了鋪墊最後那個核心命題 你如果能堅持到最後 便會不住讚歎處理的精妙 但是據我的經驗 能一下讀到最後是需要相當的數學素養的

所有他的書我更推薦學過以後當休閑讀物去品 他的書只有細品才能品出味道

拿小說舉例子 現代的書大多是短篇小說集 每一篇讀完都會有一點新的收貨 前後關聯並不是那樣密切 不至於給你跳讀造成太大障礙

而E.Artin的書就是長篇小說 就算一篇作為書來說篇幅不大（例如Galois理論 Algebraic numbers Gamma function都是這樣）但是你必須從頭到尾一次讀完 否則斷了以後銜接會覺得很痛苦

看過rotman和73上的Galois部分，覺得前者從根式可解講起再講基本定理，又（如同這本書的風格）比較啰嗦讓人讀來有點弄不清整套理論的主線（可能因為我第一次學讀的是這本吧），而後者語言和手法比較舊（畢竟老書了）看起來也不是那麼舒服。211上Galois部分很多人推薦，然而我至今沒看過，就不評價。

所以還是和別的幾個答案一樣推gtm167，主要是覺得這本書對於自學很重要的兩點，motivation和examples，寫的很好，從而自學讀起來也很舒服，幾乎不太會卡住或者不知道證一堆lemma和prop在幹嘛。而且這本書的五個附錄cover了書中要用到的群論環論和點集拓撲知識，使得讀這本書需要的前置知識非常少，即使不熟悉有關知識附錄也講的很明白了。

第一部分前五章講經典Galois理論（基本定理），我印象很深的就是在第二章（介紹基本的自同構概念）的一個命題說了

[公式] 是Galois擴張iff [公式] （極小多項式）在 [公式] 中有 [公式] 個互異的根.

從而很自然的考慮一般的代數擴張是Galois的充分條件.上面命題中的兩個條件1. 在[公式] 中有n個根；2.n個根互異在第3，4章中很自然的推廣成了正規（Normal）擴張和可分（Separable）擴張的概念，從而最後得出了Galois擴張的充要條件，並在第五章中討論了基本定理.而一些重要的相關定義和性質比如代數閉域存在性，同構下唯一性（同構擴張定理），本原元素定理（有限擴張是簡單擴張，即 [公式] 形式，iff中間域有限），純不可分次數和可分閉包，也在相關部分引入使理論更完整。

第二部分是用前面的一般理論研究一些特殊的域和擴張，如有限域，分圓域，方程根式可解性理論等。tracenorm和discriminant則在代數數論一開始會用到。

第三部分主要討論無限Galois擴張和超越擴張，在數論和代幾里都是默認你會的，可以用到再回頭學。不過這本書講無限維Galois對應避免使用逆向極限，使有些地方繁瑣了一些，可以看其他書比如《代數學方法》

這本書習題感覺也不錯，每節二十道左右，難度不大基本上自己可以想出，還有些舉例子的題可以熟悉相關的具體構造

另外國內的教科書（比如馮克勤老師的近世代數）通常很簡練但「該有的都有了」，感覺看國外的書被很多性質搞得迷糊的時候可以把國內的書當作提綱

Galois Theory - Ian Stewart （第三版/第四版）

大部分的抽象代數書(比如Hungerford，Jacobson)都是把Galois理論放到第四或第五章左右，Group, Ring, Modules講完之後再講的。但Stewart把Galois理論單獨拿出來作為一本書。好處就是有更多的篇幅去介紹整個理論的發展，讀起來比較輕鬆。

這本書有二十多章，但是也就300頁不到。前15章的內容都是基於complex field，講的是Galois『 original theory。剩下的章節再講更general的版本。中間也穿插了很多的anecdotes啊historical backgrounds這些，讀的時候會有很多的motivation。而且英國這邊教Galois Theory挺多都是用這本書的。

一般來說學完基本的群論和一些環的基礎概念之後看這本書就沒有什麼太大的問題了。

【更新】

第四版勘誤：https://www.geneseo.edu/~johannes/GTerr.html

Springer的SUMS系列John.Howie的《Fields and Galois Theory》

深入淺出，零基礎可看

包會

這是在知乎上看到的一篇文章，精彩極了，詳細的講述了伽羅瓦思想的整個導出過程，看完這個對於學習伽羅瓦理論應該由很多好處！

若漂：[轉載]瞎扯伽羅華群論思想?

zhuanlan.zhihu.com圖標

如果是在中規中矩的學習抽象代數課程，且課程內容包含Galois理論，那麼幾乎任何一本抽象代數教程都是滿足條件的。

然而實際情況是對於我國的學生來說，這樣做通常效果很差，而且具體實現困難。

如果為了學習Galois理論，而且只推薦一本書，那我覺得當仁不讓的選擇是被所有回答忽略的：

E.Artin 的 「Galois Theory」或者「Algebra with Galois Theory」

需要注意的是Artin的講義有兩個不同的版本，一個是 Milgram 做筆記的聖母大學版，名為「Galois Theory」，另一個是 Blank 做筆記的科朗所講義系列版，名為「Algebra with Galois Theory」。（前者有1978年翻譯成中文的版本並再版過，但現在當收藏品賣的死貴，而且再版時候連老版術語也都沒改，不如自覺的看英文版）兩者有一定差別擇一即可，主要是後者背景介紹更多起點更低一些。

如果說不看這本書可能只有一個理由：現在關於Galois理論講授清晰全面的書已經太多了。

但推薦看卻有很多充足理由：

1. Artin 在當年重寫了Galois理論，而且他的講義是現如今所有Galois理論表述之母。不管教科書如何寫，他們都是Artin表述的子孫及其旁系變體。可以參看Zassenhauss所寫的紀念Artin的文章中對Artin當年改寫Galois理論的描述。

2. Artin 的講義從科班角度來說已經達到了易讀的極限。Artin雖然是做『深刻數學』的大家，但是Artin對哪怕是基礎如微積分的課程教學，都極其投入。這在Zassenhauss文章里也有提到。所以Artin 某些書可能很難讀，但他寫的 Galois 理論，寫得非常平易近人。

3. Artin 的講義幾乎就是直奔 Galois 理論而去的，不需要的東西一概不講，需要的東西哪怕基礎如群的概念（科朗版）、線性空間的概念（聖母版）也要來一遍 。

4. 全書篇幅很小，只有一百頁左右，幾乎已經達到了簡化的極限。如果只關心Galois理論的表述，那基本上其中前七十頁已經完成。如果已經學過線性代數，就可以縮減到只用看四十頁。如果想再精簡一些直奔主題，那麼依照Serge lang 「undergraduate algebra」里的處理方式只考慮特徵零情況而跳過可分性，那麼看其中二三十頁就夠了。

所以我相信，一個有一定興趣天賦時間精力的中學生，在短時間內學會Galois理論，也是完全可能的。如果有人指導，這個速度會更快。

台灣師大李華介教授有一本小冊子，網上可以搜到

GTM167

《群論思想及其力量小議》

2018, 清華大學出版社，作者：盛新慶

很細小的版面，只有105頁，而且還有很多藝術插圖（包括林風眠的畫）和詩詞欣賞

在書的一半多些，已經證明了 5次以上方程不可解定理，實際上用了很少頁數

作者解釋得很好，不單止用數式，還有文字論述

對初入門的人來說是最好的了

Patrick Morandi的Field and Galois Theory基礎內容寫得很較全，細節很豐富，包含了很多應用。J. Milne的主頁有一本Field and Galois Theory寫得很漂亮，包含了一些Patrick書中沒有的內容，如The Galois theory of etale algebras 。此外國內章璞老師寫了一本非常漂亮的小書「伽羅華理論」，整本書只有120頁，如果想快速了解Galois理論的主脈，非常推薦。

《從一元一次方程到伽羅瓦理論》聽著名字就非常入門，但是帶有科普性質，不太深入。

《從根式解到伽羅華理論》

目 錄

第一分冊目錄

編者的話………………………………………………………………………………………Ⅰ

第一章 方程式解成根式的問題·低次代數方程式的根式解法

§1方程式解成根式的問題·二項方程式……………………………………………………1

1．1方程式解成根式的問題·歷史的回顧（1） 1．2二項方程式（6）

§2低次代數方程式的古典解法……………………………………………………………10

2．1一次、二次方程式（10） 2．2三次方程式（12） 2．3四次方程式（19） 2．4三次方程式的其它解法（25） 2．5契爾恩豪的變數替換法（26） 2．6五次方程式的布靈–傑拉德正規式（28）

第二章 數域上的多項式及其性質

§1數域上的多項式…………………………………………………………………………32

1．1數域的基本概念（32） 1．2數域上的多項式（33） 1．3多項式的運算·餘數定理（35） 1．4多項式的除法（38） 1．5多項式的最高公因式（40） 1．6不可約多項式（44）

§2對稱多項式………………………………………………………………………………48

2．1多項式的根與係數間的關係（48） 2．2多元多項式（50） 2．3兩個預備定理（52） 2．4問題的提出·未知量的置換（54） 2．5對稱多項式·基本定理（55）

第三章 用根的置換解代數方程·群

§1用根的置換解代數方程…………………………………………………………………60

1．1拉格朗日的方法·利用根的置換解三次方程式（60） 1．2利用根的置換解四次方程（62） 1．3求解代數方程式的拉格朗日程序（63）

§2置換的一般概念…………………………………………………………………………66

2．1排列與對換（66） 2．2置換及其運算（69） 2．3置換的輪換表示（72）

§3群…………………………………………………………………………………………75

3．1對稱性的描述·置換群的基本概念（75） 3．2一般群的基本概念（77） 3．3子群·群的基本性質（79） 3．4根式解方程式的對稱性分析（80）

第四章 論四次以上方程式不能解成根式

§1數域的擴張及方程式解成根式問題的另一種提法……………………………………82

1．1數域的代數擴張（82） 1．2數域的有限擴張（86） 1．3方程式解成根式作為域的代數擴張（91）

§2不可能的第一證明………………………………………………………………………92

2．1第一個證明的預備（92） 2．2魯菲尼-阿貝爾定理（100）

§3不可能的第二證明…………………………………………………………………104

3．1第二個證明的預備（104） 3．2克羅內克爾定理（107）

第五章 以群之觀點論代數方程式的解法

§1有理函數與置換群……………………………………………………………………112

1．1引言·域上方程式的群（112） 1．2伽羅華群作為伽羅華預解方程式諸根間的置換群（114） 1．3例子（116） 1．4根的有理函數的對稱性群（118） 1．5有理函數的共軛值（式）·預解方程式（119） 1．6伽羅華群的縮減（122） 1．7伽羅華群的實際決定法（124）

§2預解方程式與代數方程式的解法……………………………………………………125

2．1利用預解方程式解代數方程式（125） 2．2預解方程式均為二項方程式的情形（126） 2．3正規子群·方程式解為根式的必要條件（128） 2．4可解群·交錯群與對稱群的結構（129） 2．5預解方程式的群（134） 2．6商群（135） 2．7群的同態（136）

§3分圓方程式的根式解…………………………………………………………………139

3．1分圓方程式的概念（139） 3．2十一次以下的分圓方程式（141） 3．3分圓方程式的根式可解性（143） 3．4高斯解法的理論基礎（145） 3．5分圓方程式的高斯解法·十七次的分圓方程式（147） 3．6用根式來表示單位根（150）

§4循環型方程式·阿貝爾型方程式………………………………………………………151

4．1可遷群（151） 4．2循環方程式（154） 4．3阿貝爾型方程式（157） 4．4循環方程式與不變子群·方程式解為根式的充分條件（160）

§5論代數方程式解成二次根式的可能性問題………………………………………161

5．1問題的起源（161） 5．2方程式用平方根可解的條件（164） 5．3論三次及四次方程式解成二次根式的可能性（167）

§6方程式解成二次根式可能性理論的應用……………………………………………170

6．1二倍立方體的問題·三等分角問題（170） 6．2割圓問題（171） 6．3既約情形的討論（175）

第六章 抽象的觀點·伽羅華理論

§1代數方程式的群……………………………………………………………………… 177

1．1同構及其延拓（177） 1．2以同構的觀點論伽羅華群（179） 1．3正規域的性質·正規擴域（181） 1．4代數方程式的群的性質（183）

§2代數方程式可根式解的充分必要條件……………………………………………… 187

2．1伽羅華大定理（187） 2．2推廣的伽羅華大定理（189） 2．3應用（191）

主要參考文獻………………………………………………………………………………193

P????

我覺得Dummit and Foote比較好入門，講得也比較細。

Joseph Rotman的Galois Theory

入門書籍，看我寫的《低級群論》吧，我不是大牛哦，只不過針對中學生的。2020年4月出版，美國學術出版社。

立意：開啟智力，群論是數學的萬法之源。多謝指教。

不過，要在美國亞馬遜才可以搜索到。中國亞馬遜不可以。

古典數學難題與伽羅瓦理論
GTM101 真的是從歷史講起啊~~~
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