線性代數中，矩陣和向量的關係是什麼？

說明：

1.本人水平不高，可能會出現錯誤，請各位不吝指教；

2.本文中的記號一般使用的是mathscr，這是作者的個人習慣，很抱歉對閱讀產生一些不必要的麻煩。

我們設一個集和一個域，其上存在兩種運算，如果滿足以下：

①加法封閉性 ;

②乘法封閉性 ;

③加法交換律 ;

④加法結合律 ;

⑤乘法結合律 ;

⑥加法單位元 ;

⑦加法逆元 ;

⑧乘法單位元 ;

⑨乘法分配律 ;

那麼我們稱集是一個向量空間，其中的元素稱為向量。我們不難看出，域中的元素就是我們常說的標量。

回到原問題，對於我們很容易驗證域上的若干個矩陣構成一個向量空間，且這個向量空間的維數。也就是說，矩陣可以看做一個特殊的向量，而向量也可以看做一個特殊的矩陣。

註：事實上，在抽象代數中我們還可以把域換成環，此時構成的向量空間也是一種代數結構，稱為環上的左模，這說明向量空間實際上可以看成一種特殊的模。

在張量分析中，我們知道張量是一個多重線性映射：

事實上，標量是階張量，向量是階張量，而矩陣是階張量。

向量是數組，一個向量包含n個數字，每個數字的差別不僅在大小有別，更在它們處在不同的位置上。在線性代數里，把向量里數字所處的不同位置套用坐標系的數軸來區分，每一個數字佔據一個維度，數字的大小就是這個維度上刻度的數量。如果一個數組裡有n個數字，就稱該向量是n維的。

而矩陣由向量組成，把n個n維向量(數組)按順序放到一起，就形成一個n階矩陣，每一個列向量就是一個數組，這個矩陣有n*n個數字。

矩陣中的列向量被類比為坐標軸，稱為「基」，列向量的方向被視為該坐標軸的方向，列向量的模長被視為該坐標軸的一個刻度，n個列向量對應n個坐標軸，就是n個基。一個矩陣對應一個坐標系。

我們熟悉的三維直角坐標系的三個坐標軸的向量表達是：x軸(1,0,0)，y(0,1,0)，z軸(0,0,1)。這三個向量組成一個三維的「坐標系」，這個坐標系是的一個特殊的矩陣，叫單位矩陣，符號I。

一言以蔽之，

向量是一種特殊的矩陣

矩陣也是一種特殊的向量

當然，這裡前後兩個向量的概念是不一樣的，前一個向量是一種狹義的向量，也就是我們在經典物理學和初等幾何學中常碰到的向量（其中物理學中常被翻譯為矢量），又叫做歐幾里得向量（Euclidean vector）

一個維向量，可以寫成的矩陣，或者的矩陣，分別叫做列向量與行向量

為什麼說矩陣也是一種向量呢？這裡的向量指的是廣義的向量

我們回顧需要一下線性空間是如何定義的：

線性代數中，設是一個非空集合，是一個數域

在上定義一種二元運算，稱為加法，使得對中任意兩個元素和，中都有惟一一個元素與其對應，即，稱作與的和；

在數域和集合的元素之間定義了一種運算叫做數乘，對於數域中任意一個數和集合中任意一個元素，在中都有唯一一個元素與其對應，即，稱為與的數乘.

向量加法滿足：

1）加法交換律：；

2）加法結合律：；

3）中存在零元素，使得對中任意元素，有；

4）對中每一個元素，都有唯一的中的元素（負元素），使得 .

（也就是上的加法構成了一個阿貝爾群）

數乘滿足：

5）；

6） .

數乘對標量加法滿足分配律：7）；

數乘對向量加法滿足分配律：8） .

滿足以上8條規則的集合就叫做線性空間（又稱向量空間），而集合中的元素就叫做向量

相應的，數域中的元素則稱為標量

在實際應用時，數域取實數域或複數域居多

熟悉抽象代數的人應該知道，這裡數域可以換成更一般的的環，此時上述定義的代數結構就叫做環K上的（左）模，線性空間實質上是一種特殊的模

很明顯，對於矩陣的加法，以及數域與矩陣的數乘，所有數域上的的矩陣將構成一個維的線性空間，這是非常容易驗證的

所以說，矩陣當然也是一種向量

高校中數學學院的理論數學教學模式坑害了不知多少非數學專業的學生。而既然出現在了知乎上就不能用理論數學的套路去回答，否則題主去看書就好了。

私以為矩陣可以理解為方法，向量可以理解為變數或對象。

比如一塊磚的位置，設為變數：

其中的1是為了稍後的齊次變換。

現在要搬磚了，需要操作變數的方法，也就是矩陣：

其中R是3x3矩陣代表對磚的旋轉，比如把趴著的磚立起來，代表對磚的移動，比如從地面上放到陽台上。

現在用方法操作變數，就是矩陣T乘向量x

代表把趴在地上的磚搬到陽台上並立起來。

矩陣R的特徵值用來放縮這塊磚。但磚是硬質的沒辦法放縮。如果是橡皮泥就可以用R揉捏橡皮泥使之變形。說到特徵值肯定得提特徵向量，矩陣R的特徵向量實際是那塊磚的旋轉軸。

以後搬磚就可以直接用矩陣乘法了，矩陣是雙手，向量是磚。

最簡單的理解:向量是個位置，矩陣是個變換。

單個向量可以視為一階矩陣，多個向量組合在一起就組成了矩陣。矩陣的每一行可視為一個行向量，每一列可視為一個列向量。其實就是一回事。

再從矩陣與向量之間相乘的觀點來看，矩陣Ax=b，這裡A是矩陣，x，b均為向量。這裡矩陣A視為一個一個的行向量的組合，則向量b的每一個分量都是A的列向量與x的內積。如果將矩陣A視為一個向量空間的基，則b為x在向量空間的投影。這裡向量是空間的一個點，而矩陣是空間的基。

我們考慮的問題是很廣泛的，任何存在線性關係的問題都可以使用線性代數這一工具研究，所以線性代數被廣泛使用在各個學科。任何特例都是一個更廣泛概念下的子集，因而從任何一個特例來理解都是不充分的，而且特例的數量是無窮多的，從一個特例出發往往不能解釋另一個特例，所以最好的方式就是徹底理解特例背後的本質，對於矩陣和向量而言這其實沒那麼難。

線性空間的定義其他答案都說了，一個集合，不管裡面是什麼東西，只要滿足那幾條規則，裡面的元素就被稱為是一個向量（或矢量，都是vector）。因而三維空間中的向量是向量，高維空間中的向量是向量、一個矩陣是向量、一個張量還是向量。。。只要存在這種線性關係的地方，也就是說，滿足那些定義的地方，都可以使用線性代數研究。

不過矩陣與向量關係最密切也是人們最常問的的還是矩陣作為線性映射的表示。只考慮實數域上的線性空間，給定兩個分別為維和維的線性空間，一個線性映射是指一個映射：