如何理解实数的连续性？

实数的连续性是说实数一个连著下一个，有相邻的实数，这两个实数之间没有任何数了么，可是书上说实数有稠密性，任意两个实数之间都有无数个实数啊，所以实数连续性肯定不是这样的，无法理解实数连续性是什么，忘大神解答，说的通俗一点，不要用什么和点一一对应这样的

实数的稠密性，是说任意两个实数之间总存在第三个实数；实数的完备性，也就是实数的连续性，是说实数是一个连续统，它具有满足单调有界原理、确界原理、柯西收敛原理等几个实数基本定理（这些定理是彼此等价的）的那种性质。

为了理解稠密性与完备性的不同，可以比较一下有理数和实数的性质。有理数和实数都具有稠密性，但实数还特别地具有完备性，此外，完备性逻辑上蕴含了稠密性，因此，完备性是比稠密性更强的性质。

形象来讲，基于直线上点的连续性公理，实数集可以与直线上的点集建立双射，即实数与直线上的点一一对应，这就是建立「数轴」的依据。但如果只考虑有理数，那么有理数（虽然它已经稠密了）仍然填不满数轴，换言之，这数轴上还存在有待填充的「空隙」，而我们已经知道，那是无理数的位置。

连续性这个说法不准确，函数才有连续的说法。实数的所谓连续指的其实是实直线的连通性connectedness。形象的说，就是你在实数轴上随便找一点，咔嚓切两半，要么左边有最大数，要么右边有最小数，不会两边都是开区间

精确一点就是，考虑实数分为非空集合A,B的不交并，且A中每一个数都比B中每一个数小，则A,B(显然都是区间)不会同时都是开区间

(这种划分叫戴德金分割)

另，拓扑里连通性就定义为

不能分为两个非空开集的不交并

这个性质立刻可以证明实数具有确界性：任何有上界的非空实数子集都有上确界，这是后面用的最多的。

如果觉得理解困难，至少先把确界原理记住，以后有机会再深究

连续性也就是完备性。

以确界存在原理为例，非空有上界的数集必有上确界，如果没有的话就说明数轴上有一点空出来了，因此，从直观上看，完备性就是讲了实数与数轴可以是一一对应的

实数系的连续性定理可参考下文：

懂亿点数学：实数系的连续性定理?

zhuanlan.zhihu.com

任意两个实数「中间」的数都是实数

请注意这和任意两个有理数「中间」存在一个数是有理数的区别。

实数理论确实是初学微积分的时候比较难的一部分，但是你困惑的这个点比较奇怪，我想你的问题其实是在于把数学语言和日常语言搞混了。

拿这个连续性来说，在日常语言里可以表示一个接一个接连不断的意思，也可以表示像水流一样连绵不断的意思，具体表达什么需要看语境。

在数学中，实数在极限运算下是封闭的。这件事情有几种等价的论述，比如确界原理，区间套定理，有限覆盖定理等等。具体使用的时候采取哪一个论述取决于要解决的具体问题。因为说法很多，这个概念应用又如此的广泛，所以就产生了一些通俗的但是不严格的说法，比如：实数是连续的。

采取这个说法的时候是运用了自然语言中连续这个词连绵不断的那个意思，而不是接连不断的那个意思。这种俗称只是为了方便，不能直接从语言意上去理解。所以只要你明白了这个道理应该就不会有这种困惑了。

看了下大家的回复，其实叫连续性也没什么错。解决这个问题最完美的戴德金是从几何原本里找到的启示：一条直线，如果把它切断，注意它化为一根射线和一根直线。而不是两根直线，这就很能说明分割的原理了。

我的理解。数学分析里的连续性(包括实数的连续性)，包含有两个属性，一个是稠密，所谓稠密，意思是任何两个元素之间都有无穷多个元素。一个是完备，所谓完备，本质上是定义出来的，数学涵义是完备的集合之外的元素不能插到集合中来进行排序，也就是说这个集合包含了所有的可以排序的元素。对于有理数，就是稠密的，但是无理数可以插到有理数中间去排序，所以有理数不是连续的。有理数和无理数合起来称为实数，是连续的，连续的涵义本质上是定义出来的。

对于具体某一点来说，说它是连续的，意思是它周围的无穷小序列(因为本质上所谓的离某个数最近的数是不存在的，离某个数最近的只能是一个离它的的距离为无穷小的数列，所以它肯定是稠密的)是完备的，意思就是它周围不会有实数集合之内的无穷小序列的空点。

用极限来描述就是对于一个点a，不存在这样的序列:这个序列的极限值是a，但是这个序列不在完备集合之内。对于一维数轴，完备集合就是a点周围的无穷小实数域，对于函数，为a点对应的自变数的无穷小邻域内的所有实数的函数值集合。

每个实数大小都是唯一的,似乎可以从小到大"排队"一个连著一个,这不具有操作性的.存在但不知道.假如a,b两个实数是"连著"的,自然a,b之间没有实数,你甚至发觉可能应该会有最小正实数...可从操作上,你却只能想像出相隔无数个实数的a,b.

你说的连续性，可能是你指连通性了，不能等于两非空开集之并。

集合A在R稠密，指A的闭包等于R。因为R是整个空间了，所以稠密。一般稠密性只讨论其中一个子集，比如有理数集稠密。

直观上连续性不是一个一个的能列成一列，应当是理解为不间断。

稠密性是说两个数之间还有一个有理数是稠密的。

连续性是说一个收敛的序列其极限也在这个数域。显然有理数不是连续的一比如一步步写下pi的小数表示截止到任何一步都是有理数但pi不在有理数域。