如何理解實數的連續性？

實數的連續性是說實數一個連著下一個，有相鄰的實數，這兩個實數之間沒有任何數了麼，可是書上說實數有稠密性，任意兩個實數之間都有無數個實數啊，所以實數連續性肯定不是這樣的，無法理解實數連續性是什麼，忘大神解答，說的通俗一點，不要用什麼和點一一對應這樣的

實數的稠密性，是說任意兩個實數之間總存在第三個實數；實數的完備性，也就是實數的連續性，是說實數是一個連續統，它具有滿足單調有界原理、確界原理、柯西收斂原理等幾個實數基本定理（這些定理是彼此等價的）的那種性質。

為了理解稠密性與完備性的不同，可以比較一下有理數和實數的性質。有理數和實數都具有稠密性，但實數還特別地具有完備性，此外，完備性邏輯上蘊含了稠密性，因此，完備性是比稠密性更強的性質。

形象來講，基於直線上點的連續性公理，實數集可以與直線上的點集建立雙射，即實數與直線上的點一一對應，這就是建立「數軸」的依據。但如果只考慮有理數，那麼有理數（雖然它已經稠密了）仍然填不滿數軸，換言之，這數軸上還存在有待填充的「空隙」，而我們已經知道，那是無理數的位置。

連續性這個說法不準確，函數纔有連續的說法。實數的所謂連續指的其實是實直線的連通性connectedness。形象的說，就是你在實數軸上隨便找一點，咔嚓切兩半，要麼左邊有最大數，要麼右邊有最小數，不會兩邊都是開區間

精確一點就是，考慮實數分為非空集合A,B的不交並，且A中每一個數都比B中每一個數小，則A,B(顯然都是區間)不會同時都是開區間

(這種劃分叫戴德金分割)

另，拓撲裏連通性就定義為

不能分為兩個非空開集的不交並

這個性質立刻可以證明實數具有確界性：任何有上界的非空實數子集都有上確界，這是後面用的最多的。

如果覺得理解困難，至少先把確界原理記住，以後有機會再深究

連續性也就是完備性。

以確界存在原理為例，非空有上界的數集必有上確界，如果沒有的話就說明數軸上有一點空出來了，因此，從直觀上看，完備性就是講了實數與數軸可以是一一對應的

實數系的連續性定理可參考下文：

懂億點數學：實數系的連續性定理?

zhuanlan.zhihu.com

任意兩個實數「中間」的數都是實數

請注意這和任意兩個有理數「中間」存在一個數是有理數的區別。

實數理論確實是初學微積分的時候比較難的一部分，但是你困惑的這個點比較奇怪，我想你的問題其實是在於把數學語言和日常語言搞混了。

拿這個連續性來說，在日常語言裏可以表示一個接一個接連不斷的意思，也可以表示像水流一樣連綿不斷的意思，具體表達什麼需要看語境。

在數學中，實數在極限運算下是封閉的。這件事情有幾種等價的論述，比如確界原理，區間套定理，有限覆蓋定理等等。具體使用的時候採取哪一個論述取決於要解決的具體問題。因為說法很多，這個概念應用又如此的廣泛，所以就產生了一些通俗的但是不嚴格的說法，比如：實數是連續的。

採取這個說法的時候是運用了自然語言中連續這個詞連綿不斷的那個意思，而不是接連不斷的那個意思。這種俗稱只是為了方便，不能直接從語言意上去理解。所以只要你明白了這個道理應該就不會有這種困惑了。

看了下大家的回復，其實叫連續性也沒什麼錯。解決這個問題最完美的戴德金是從幾何原本里找到的啟示：一條直線，如果把它切斷，注意它化為一根射線和一根直線。而不是兩根直線，這就很能說明分割的原理了。

我的理解。數學分析裏的連續性(包括實數的連續性)，包含有兩個屬性，一個是稠密，所謂稠密，意思是任何兩個元素之間都有無窮多個元素。一個是完備，所謂完備，本質上是定義出來的，數學涵義是完備的集合之外的元素不能插到集合中來進行排序，也就是說這個集合包含了所有的可以排序的元素。對於有理數，就是稠密的，但是無理數可以插到有理數中間去排序，所以有理數不是連續的。有理數和無理數合起來稱為實數，是連續的，連續的涵義本質上是定義出來的。

對於具體某一點來說，說它是連續的，意思是它周圍的無窮小序列(因為本質上所謂的離某個數最近的數是不存在的，離某個數最近的只能是一個離它的的距離為無窮小的數列，所以它肯定是稠密的)是完備的，意思就是它周圍不會有實數集合之內的無窮小序列的空點。

用極限來描述就是對於一個點a，不存在這樣的序列:這個序列的極限值是a，但是這個序列不在完備集合之內。對於一維數軸，完備集合就是a點周圍的無窮小實數域，對於函數，為a點對應的自變數的無窮小鄰域內的所有實數的函數值集合。

每個實數大小都是唯一的,似乎可以從小到大"排隊"一個連著一個,這不具有操作性的.存在但不知道.假如a,b兩個實數是"連著"的,自然a,b之間沒有實數,你甚至發覺可能應該會有最小正實數...可從操作上,你卻只能想像出相隔無數個實數的a,b.

你說的連續性，可能是你指連通性了，不能等於兩非空開集之並。

集合A在R稠密，指A的閉包等於R。因為R是整個空間了，所以稠密。一般稠密性只討論其中一個子集，比如有理數集稠密。

直觀上連續性不是一個一個的能列成一列，應當是理解為不間斷。

稠密性是說兩個數之間還有一個有理數是稠密的。

連續性是說一個收斂的序列其極限也在這個數域。顯然有理數不是連續的一比如一步步寫下pi的小數表示截止到任何一步都是有理數但pi不在有理數域。