eta,"> 这里 [公式] 于是我们将[公式]中各项依其在 [公式] 中的先后次序合并成新的序列 [公式] ，显然这[公式]也是 [公式] 的一个子列。但此时，容易看出，对于任意的 [公式] [公式] 中有无穷多项落在区间 [公式] 中，也有无穷多项落在区间 [公式] 中，这表明[公式] 不能收敛，就与序列 [公式] 的任一子列都收敛的条件矛盾。

够准确，如果他有两个子列的极限不同，则把这两个子列组成一个新的子列（即把两个子列的下标组成的集合并起来，形成一个新的集合，用这个新的集合做下标，建成一个新的子列），则这个新的子列的极限，根据原命题必须存在，所以你说的两个子列的极限不同这种情况是不可能有的。也就是说，如果一个数列的极限存在，那么它的任意两个子列的极限都必然存在，且相等。

这句话是准确的。

任何子列都收敛，可以推导出来所有子列都收敛于同一个值。

证明：反证法，设x的子列x1收敛于a，子列x2收敛于b，那么构造数列x3。构造方法为，第一个元素取x1的第一个，记为d1，第二个元素取x2中第一个在d1后面的，记为d2（位于d1后面是指，在原数列x中d2在d1后面，由于数列是无穷多的，所以总能找到这么一个d2），接著在x1中取d3，使其在d2后面......交错取下去。可以看到得到的新数列x3是子列，但若a不等于b，x3是不收敛的，与任意子列都收敛矛盾，故a等于b，即任意子列收敛到同一个值。

简单来说，若两个子列收敛于不同的值，那么这两个子列形成的新的子列就不收敛了，所以矛盾，子列一定收敛于同一个值。

顺便，数学定理都是本著最简原则的。既然它的严格证明没有用到「所有子列极限都相等」这一条件，那么这个就是无关条件。要么与证明无关，要么暗含在已给出的条件中。可以看看它的证明，思考为什么用不到这个条件。

如果再加上这么一个条件，也许易于理解，那这个定理就不够美观了。

是收敛于同一极限，但是问题又来了如果有两个子列不收敛于同一极限那么这两个子列构成的数列收敛吗？

对 需要补充一点 所有子列收敛于相同的值 这个定理一般用来证明数列发散 找两个子列 这两个子列收敛于不同的值 那么这个数列发散

条件收敛数列的子列好像是发散的？

问题：是否存在一个数列，它的任何子列都收敛，但存在两个子列极限不同

Claim：不存在

证明：反证法。如果该数列Sn存在，Sn的子列An趋近于实数a，Bn趋近于实数b。那么，一定存在子列Cn交替分别取An与Bn的项。因为a不等于b，所以Cn不收敛，但Cn是Sn子列。与假设矛盾，证毕。

总结：基本上如果这个数列的俩子列趋向于不同的值，那这个数列一定存在一个divert的子列。既然存在了divert的子列，那就跟定理没关系了。因为定理只研究每个子列都收敛的数列。

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