以上展示了 和 的情形. 根據定積分的幾何意義, 單調有界存在極限; 答案似乎趨近長方形 的面積 .

首先, 顯然有 . 取極限:

其次有 .

取極限: .

綜上所述, 選 .

我們有：

於是：

則：

^[1]

但實際上，我們既然交換了次序，倒不如直接狠一點：

作為課後習題留給大家。

則

實際上，我在之前論證 的時候用了一個錯誤的論證，所以把它當做課後習題。在這裡，我將再一次證明，順便當做參考答案。

下方絕對值未寫，自行添加。注意到，原式只需要討論 時 的情況，所以我將原式改為： 所以

參考

1. ^對於f_n(x)在[a,b]間處處收斂於f(x)，則有極限和黎曼積分可交換順序

由積分中值定理： , ,則有：

.