比如有dy/dx=x，则有dy=xdx，为什么会有后式，还有单独的dy是什么意思？

数学符号的准确理解和使用取决于上下文。「某某符号到底是什么意思」，「某某符号的「标准用法」是什么」，是数学初学者经常问的两个问题。

简单的回答是：数学符号的含义取决于上下文；很多符号不存在所谓的「标准用法」。

随著数学概念复杂程度的增加，我们经常可以看到两种情况。

不同的数学符号，表达完全相同的意思。

例如，函数 [公式] 在点 [公式] 处的导数，

  • 拉格朗日（Lagrange）记号写作 [公式] ，
  • 莱布尼兹（Leibniz）记号写作 [公式] ，
  • 欧拉（Euler）记号写作 [公式] ，
  • 牛顿记号写作 [公式] 。

这些符号[1]都表达同一个意思，但在不同的语境下强调导数不同方面的意义。

  • 从莱布尼兹符号可以看出函数的「自变数」和「因变数」的名字；
  • 有的场合完全不需要引进因变数的名字，拉格朗日记号的表达就非常简洁；
  • 在曲线论里经常用牛顿记号特别地表达对「弧长参数」的导数；
  • 欧拉记号可以强调导数作为「微分运算元」这一方面。

对同一概念在哪个场合选用哪个符号，不是根据哪个「标准」定的要求，而是作者根据自己表达的需要和习惯作出的选择。

看起来相同的符号，表达完全不同的意思。

例如 [公式] 可以表达一个列向量，又可以表达二项式系数。

又例如 [公式] 这个符号在下面三个表达式中含义完全不同： [公式] 。

导数的莱布尼兹记号 [公式] 是很多的微积分教材处理得不太清楚的地方。我们从头开始。

  1. 导数的定义。

考虑定义在开集 [公式] 上的函数 [公式] 和 [公式] 上的一点 [公式] 。

如果极限 [公式] 存在，我们把这个极限称为[公式] 在点 [公式] 处的导数，记为 [公式] 。

如果 [公式] 在 [公式] 上处处可导，定义在 [公式] 上的函数： [公式] 称为[公式] 的导数。有的书又把导数称为「导函数」。

莱布尼兹记号 [公式]是常用的导数记号。如用符号 [公式] 表示上面的函数 [公式] 的「因变数」： [公式] ，那么 [公式] 在 [公式] 处的导数又记作 [公式] 。如果 [公式] 在 [公式] 上处处可导， [公式] 的导数记为[公式]。

莱布尼兹发明这个导数记号的时候，还没有严格的导数的极限定义。莱布尼兹本人是把他的记号不严格的看成是两个「无穷小量」 [公式] 与 [公式] 的商，但这种看法并不能跟实数的公理相容：

Michael Spivak, Calculus (2008) p.155

尽管莱布尼兹记号看起来像一个分数的形式，现在人们使用这个记号表示导数的时候，[公式]是一个整体。不能把这个整体拆开就跟你不能把「导数」的「导」字拆成「巳寸」一样。

2. 在各种微积分教材里，「函数的微分」紧接著在「导数」之后出现。 这个概念经常使初学者混乱。函数在某点处「可导」与函数在某点处「可微」是一回事，英文都是differentiable。

「函数在某点处的导数(derivative)」与「函数在某点处的微分(differential)」是两个不同的概念，但两者的关系非常简单：那就是某个实数 [公式] 与这个实数所定义的 [公式] 上的线性变换 [公式] 的关系。

用花哨点话说就是一维向量空间 [公式] 上的元素与其对偶空间 [公式] 上的元素的关系。如果考虑可导（differentiable）函数 [公式] 以及 [公式] 上的一点 [公式] ，那么这个关系就是实数 [公式] 与线性变换 [公式] 的关系。

如果定义 [公式] ，和 [公式] 并将 [公式] 中的 [公式] 换成 [公式] ，并且省略 [公式] 的下标，写成 [公式] 或者 [公式] ，就是很多教材上写的函数的微分。

这个 [公式] 并不是作为一个整体的莱布尼兹记号 [公式] 里的 "[公式] "。

这是记号 [公式] 的一种理解：在 [公式] 处，线性变换 [公式] 的因变数。

3. 表达式 [公式] 的另一种理解是微分形式[2]。如果不考虑一般的光滑流形，只考虑欧氏空间，这个概念并不复杂。这时候的 [公式] 和 [公式] 都是「(反对称的)1次线性变换场」。

简单地说，给定 [公式]，在上一种理解里的 [公式] 和 [公式] 都是 [公式] 上的元素，而这里的 [公式] 和 [公式] 是 [公式] 上的元素。

4. 记号[公式] 的再一种理解是「非标准分析」[3]里的「无穷小量(infinitesimal[4])」。这种方法用严格的语言回到莱布尼兹的初衷。

简单地说， [公式] 被视为「非标准实数」 [公式] 中的元素， [公式] 是在「非标准实数」 [公式] 上的做除法。对详细内容感兴趣的可以读Robert Goldblatt的Lectures on the Hyperreals的前三章。

参考

  1. ^https://en.wikipedia.org/wiki/Notation_for_differentiation#Lagranges_notation
  2. ^https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form
  3. ^https://en.wikipedia.org/wiki/Nonstandard_analysis
  4. ^https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal

可以参看这个问题：

老师说表示导数的 dy/dx 不能理解为 dy 除以 dx，为什么？?

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微分和导数的定义并不完全相同。导数侧重于「瞬时」变化率，而微分则倾向于「瞬时」变化量。

本答主的一片回答中讨论了微分符号的含义：

怎么求解带有初值问题的常系数线性微分方程? - 南中国海的一条鱼的回答 - 知乎?

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微分，就是指微小的变化，这个时候就要看这个变化能变化到多么微小。对于一个变化过程来说，如果有平均变化率（不妨用位置和时间的关系来说明），那么就会有 [公式] ，如果物体做的是变速直线运动，那么对于某一时刻 [公式] 来说， [公式] ，当 [公式] 时，我们就称 [公式] 在 [公式] 处可微，此时定义一个新的表达式，叫 [公式] ，也可以说当 [公式] 时被记作 [公式] ，这就还原了「微分」这个词的字面含义。

只不过在计算中我们发现，对于处处可微的函数，每个点上的 [公式] 都是 [公式] 在该点处的导数，这种写法类似于省略乘号的乘法，因而我们就认为 [公式] 代表导数，并认为它可以拆开了。

推荐个我以前的文章吧，讲微分的含义的。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/85849857

打个比方吧。

对于变速运动而言，速度是什么？速度是某一时刻一小段位移除以一小段时间（一小段趋向于0），也就是：

[公式]

那么，我又想问，一小段位移是多少？当然是趋向于0啦。

但是，如果这么回答的话，等于没有回答。所以，我可以换一种比较鸡贼的说法，一小段位移是什么？是某一时刻的速度乘以一小段时间。

问题不就不失体面的回答掉了吗。哈哈哈哈哈，所以：

[公式]

一元函数可导推出一元函数可微。因为莱布尼兹的符号发明太好了，所以看的像直接把dx乘过去了。

dy/dx如果表示为微分的除法的话就不是直接等于导数了，而是极限下的近似（Δy≈dy），但是一直以来，我们都将导数记为dy/dx，则不能将其分开。若是进行微分运算（不作为导数记号时）则可以分开。

作为整体表示的是导数，分开时表示的是微分。

字面意思，dy等于x乘dx

在研究很多东西的时候直接研究整体是很困难的，往往采用微元的形式进行分析比如ds＝vdt。

楼主看一下数分书，是先有dy=xdx，我们再记为dy/dx=x。

因此如果我们能写成dy/dx=f，则一定能写为dy=fdx。

要注意这只在一元函数时成立，对于多元函数不成立。

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