他這裡考的是分母不能等於零以及極限過程是x→a時x≠a。所當g(x)（注意這裡用g代表希臘字母phi）恆等於0時，前三個命題都不成立，因為分母變成了一個恆等於零的函數。最後一個命題當f(x)=x/x,也就是說，當x不等於零時f(x)=1,當x=0時f(0)無定義，導致

lim[x→△]f(g(x))=lim[x→△]f(0)也=無定義。

這個題考得非常隱晦！！！！！答案是不可以！！！！

這題最大的天坑就在於它隱含了 是可能成立的。

所以如果在這個前提下，本身就是一個不存在的函數，因此它的極限也就無從談起。

同理，後面幾個選項全都是這個原因。

當 時：

第（2）個選項：

因為 無意義，因此該極限不存在

第（3）個選項：

試圖將作為無窮小增量使用，但顯然它處在分母上，導致導數定義式無意義，故極限等式不成立。

第（4）個選項：（最有意思）

舉個反例一目了然，比如我們定義一個分段函數：

顯然 是這個函數的可去間斷點。（左右極限都是1但不等於該點的函數值）。

那麼當 時：

所以這四個選項中，每一個都不對！

這題是出得真好。非常簡單，但又卻又很容易被忽略。

本來以為可以完美裝個13，沒想到差點把自己套進去。這裡還是放出當時推導的過程，以展示我當時的思路：

I. 先考慮重要極限：

即：

當 時有：

再考慮題設：

即：

時有：

由 的任意性，可以將它取為 。

那麼對(I)中的 , ，當 時，有

於是：

當 時, ，於是

關鍵的坑就在這裡：

注意對比(I)中的條件是：

這裡是要求了 。那麼很自然地就想到這個反例：如果 ，那麼這個結論就不成立！！

這裡就吐個槽。同濟書上特意做了要求 ，卻並沒有解釋為何要這樣做！

PS(2020-08-24): 答題的時候發現整錯了弄了半夜，結果今天一看原來上面的大佬已經都把原因指出來了 @龔漫奇 。早知道還是先看看答案。。。。。

需要 在原點的某一去心鄰域 有定義。

（畢竟像 肯定不存在嘛，極限的定義也是這麼要求的。）

換言之：對於任意原點的去心鄰域 ，存在 ，使得 ，則

其正確性可結合 的連續性與複合函數極限法則證明。

附：

1. 若 ， 且 時 ，則 .
2. 若 ， ，則 .

我覺得選a啊，對於一個恆等於0的函數，哪個也不成立

複合極限的的條件，同濟書上有定理

這個就是某教授批張宇的狗-sin狗的例子，b站張宇有講解，極限是一個趨向的過程，如果趨向過程中可以取到0，使得其在分母上沒有意義，極限也就不存在，也不可能等價

並不可以，等價無窮小不是這麼用的，你想的應該是x趨於0時有sinx與x是等價無窮小吧，但是你要注意的是x趨於0的方式是很正常的，如果給你一個奇奇怪怪的趨於0的函數，比如y=xsin（1/x）在x趨向0，你是得不到siny和y是x趨於0時的等價無窮小的

如果fx不恆為零即fx≠0的前提下，123對4錯。4的一個反例是fx=sinx，phi x=acrsinx，A取0，則f（phi（x））=x≠0=A。

不行。。x趨近於0的過程中f(x)可能等於0

選a

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