如何理解「有限幾何」？
能否通俗地解釋其中的一些性質、概念，以及和群、數域、射影幾何的關係？
以及關於有限幾何好像有個
，這東西和黎曼球面有什麼關聯嗎？？
數學外行，但是也接觸過一些有限幾何的應用，斗膽來簡單說上幾句。
歐幾里得基於幾何公理定義出來了一個抽象系統（我們叫他中學幾何吧），這個系統在實數世界裡近似出來了我們可見的這個3維歐式幾何世界，數學家很直觀的也能把它的性質和一些結論推廣到我們看不見的N維歐式空間。
那麼要把這個系統把它代數化並不難（我國古代幾何學就是缺乏這個而終究邁不出超越對大自然直觀認識的那一步），只需要把它的每一元素（例如點和線）都代數化並滿足原有歐幾里得的公理即可。此外我們還可以基於別的一些代數化方法但放寬歐幾里得公理的要求 構建出來新的幾何系統。
貼下wiki的例子
再看看歐幾里得幾何公理
上面用向量來代數化了歐幾里得空間，可以想想為什麼這樣做能滿足歐幾里得幾何公理（例如向量的差看成線，向量的和不同標量的乘積可以看成線的延申，旋轉可以看成向量繞著特徵向量做線性變換）。咳咳，也許這種做法我不應該叫它代數而該叫「代圖」？當然這裡的解說有些不嚴密的地方，例如原點如果需要可以移動，則應該把歐幾里得空間看成向量空間對仿射空間的作用。
幾何的世界擁有很多結論，如果我們別的元素能構成「幾何」，我們是否能給別的元素移植很多幾何世界的結論？
接下來我們就要進一步抽象：我們希望向量的每一維不再是實數，而是例如有限域（伽羅華域）這樣的「東西」，來研究非實數的具有其他性質的數所構成的「幾何」世界。直接貼出我學科林紓老師的教材中譯原文介紹
注意在這個"有限"的歐式幾何里，我們直接放棄了以下這些公理或直觀概念。
- 線不可以無限延伸（一個向量只能和有限個有限域元素進行標量乘法）
- 角度的概念依然可以用內積來定義，但是由於內積結果是有限域，所以不能定義角的大和小。
- 只有有限條直線和某一直線平行。因為這個平行只能平移有限個位置。
- 過一個點只有有限條直線。上面用了向量子空間的方法來計算這個數量。
- 一條直線只有有限個點。
可以用來形象化的近似思考旋轉和子空間的概念：有限平面經過一點的所有直線包含了他們所在平面的所有點（二維的所有一維子空間全集是這個二維空間，且兩兩交集是0向量），可以用4和5求和算這個結果；而在實數歐式平面里，繞一個點旋轉的直線當然掃過了這個平面所有點咯（顯然這個「無限」空間里我們不好求和來嚴密的得到這個結論咯）。所以後者可以暗示我們前者的結論，而前者可以讓我們不需要引入那些實分析的東西猜到後者的結論，這就是幾何的威力以及嘗試把幾何引入到不同的（可能是抽象的）世界的原動力。
當然我們還可以更進一步，把射影幾何等概念也運用有限域定義有限射影幾何~~就不贅述了。
zeta函數這個東西我不懂， 不過有限幾何最近在極值組合上面發揮重要的作用。 我Mark 一下，以後有時間的話，簡單地講講我個人對有限幾何的理解。
什麼是有限幾何？
有限幾何(finite geometry)是指含有限個點的幾何結構.在組合設計理論中，所涉及的幾何結構是指一類特別的關聯繫統.這種系統中有兩類不定義的元素，分別稱為點和線，以及點線之間的關聯關係P∈L，讀作點P在線L上，或者說L包含P.對這樣的關聯繫統加上不同類型的限制，即規定不同的公理，便得到各種類型的有限幾何結構.
最重要的一類幾何是射影幾何.從一條線上含q+1個點的n維射影空間可以導出一類平衡不完全區組設計(v，k，λ)-BIBD，其中
對n=2的射影平面情形，得到的還是對稱設計
(q2+q+1，q+1，1)-SBIBD.
由於這種對稱設計的存在性等價於q階正交拉丁方完備組的存在性，並且還等價於一類橫截設計的存在性，因此，可以把有限幾何看成是得到各種組合設計的重要途徑之一.
若關聯繫統只要求任意兩不同的點恰被一條線同時包含，則稱這樣的幾何結構為線空間.從設計的觀點看，這就是指數為1的成對平衡設計.這反映出區組設計理論有其幾何方面的淵源.設Vn(Fq)是有限域Fq上的n維向量空間.在某種典型群(一般線性群、辛群、酉群和正交群)的作用下，Vn(Fq)中的子空間分成一些可遷集.若把某些子空間取作「點」，另一些子空間取作「線」，並且適當規定點在線上的含義，則可以得到由各種典型群幾何導出的部分平衡不完全區組設計.中國的萬哲先等人在這方面做過比較系統的研究.
另一種定義
在數學中，有限幾何是滿足某些幾何學公理，但僅含有限個點的幾何系統。歐氏幾何並非有限，因為它必包含一條歐氏直線，其上的點一一對應於實數。
有限幾何系統可以依維度分類，為簡單起見，以下僅介紹低維度的情形。
有限平面
有限平面幾何可以分為仿射與射影兩類。在仿射空間中可以探討線的平行性，射影空間則否。
定義. 仿射平面是一個非空集 X（其成員稱為點）及一族 X 的子集 L（其成員稱為線），使之滿足下述條件：
任兩點包含於唯一的一條線。
平行公設：給定線 及點 ，存在唯一的線 使之包含 p 且 或 。
存在四個點，其中任三點不共線。
最後一條公設保證幾何非空，前兩條公設確定了幾何的性質。
最簡單的仿射平面由四點構成，其中任兩點決定唯一一條線，所以此平面有四條線。這可以設想為四面體的頂點與邊。
一般而言，n階仿射平面有 n2 個點與 n2 + n 條線；每條線含 n 點，每點落於 n + 1 條線。
定義. 射影平面是一個非空集 X（其成員稱為點）及一族 X 的子集 L（其成員稱為線），使之滿足下述條件：
任兩點包含於唯一的一條線。
任兩條相異的線交於唯一一點。
存在四個點，其中任三點不共線。
Fano 平面的圖解
在上述公理中，我們可以交換點及線的角色，這蘊含了射影幾何的對偶性：若射影幾何的某命題成立，則將命題中的點與線互換後，新命題依然成立。
最簡單的射影平面稱作 Fano 平面，又稱二階射影平面，由七條線及七個點構成。若除去任一直線（及其上之點），將得到二階仿射平面。
一般而言，n 階射影平面的點、線個數均為 n2 + n + 1，每條線含 n + 1 個點，每個點落於 n + 1 條線。
對任意正整數 n，n 階射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是這種幾何存在當且僅當 n 是素數冪。
有限幾何的對稱群
若一映射 保存共線關係，則稱之為 X 的對稱（或自同構）。Fano 平面的對稱群同構於 ，有 168 個元素。
「有限幾何」莫非是「基域是有限域的算術代數幾何」的縮寫？
你的直觀很好，Z(T)是定義在有限域Fp上的黎曼球面的Zeta函數。
在數學中，有限幾何是滿足某些幾何學公理，但僅含有限個點的幾何系統。
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