下面是我的論證過程，請問各位大神，哪裡錯了。。。（根號下的加號應該是減號的。）

小學生都能算出來圓錐側面積是 ，為什麼我用大學學的微積分算不出來，是不是哪裡出了問題？

來看一下積分的時候幹了什麼

這裡dh和母線夾角是45°，很熟悉，這不就是 嗎？原式改一下：

到這裡我們就發現問題所在了，空間中的球面是彎曲的，他並不能等效於平面中的求面積，題主在求每一份圓柱面的都是垂直與底面的，但是顯然每一份圓柱面都應該對應一個角度。對，每一個弧面都有一個切面(梯度)，對應到平面大概是曲線的導數。

因此題主在三維中用窄圓柱面的求法忽略掉了面的彎曲，相當於在二維平面中求圓周長時忽略掉了線的彎曲，如下：

此時圓周長s=4，因為s=2π

所以，我宣布π=2勢力正式出現。

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這個問題我已經回答過了。

如下

https://www.zhihu.com/answer/1025381835

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首先，從頭開始就錯了，球的表面積並不等於劃分後的圓柱側面積的和，如果在球坐標系中，對應於 的圓環的面積為 ，而對應於 的圓柱的側面積為

另外你寫的過程有不少筆誤，就不一一指出了

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其實也不用計算，按照你的思路，球表面可以分割為無數個半徑不同的圓周，圓柱體側面可以分割為無數個半徑相同的圓周，但是通俗的來講，球表面分割的圓周個數是比圓柱體分割的圓周數量要多。類似於直角三角形斜邊大於直邊一樣，圖我就不畫了。

當然，這只是一個直觀的解釋，是非常不嚴謹的，不過嚴謹的計算估計你也看不懂，畢竟積分你也不太會，這裡就不寫了

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微分後確實常用直線段來近似曲線段，但直線段的方向不是隨便選的，往往是用與曲線段相切的直線段，這樣才能確保兩者相差僅有一個高階小量。

比如問題中的球面，可以看成半圓上的每一個曲線段旋轉360度相加得到，但要用與之相切的直線段近似時，會發現這些直線段的方向不是固定不變的，而是跟坐標有關。

題主出錯的地方就在於近似所用的直線段方向沒搞對。

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不是等價的，因為你取的微元極限不是1。那段微元弧長和他在坐標軸上的投影微元極限比不是1啊，但是和他的弦長極限才是1，所以你要用弦長圓柱面的表面積才對。

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再往後學學重積分，要用三重積分的

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