概率論的經典問題，我能理解推導過程，但是從直觀上並不能接受這個結果，想知道有什麼好的理解方式？

但是為什麼大多數人會對這個概率的感覺發生偏差呢？

大多數人對生日問題的概率感覺發生偏差，並不是因為對這個問題的理解發生錯誤。本質上是因為我們日常理解的「生日相同問題」，與概率學裡的生日問題是不同的，我們的直覺壓根理解的就是另外一種問題描述。

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概率學中的生日問題是在問n個同學中至少任意兩人生日相同的概率。

而我們在生活中對「生日相同問題」的直覺理解其實是這樣的：n個同學中，除我之外的人中至少有1個和我生日相同的概率。

我們來算算這種概率。

假設除你之外有n個同學，那麼算上你總共有n+1個人。於是

除你之外的人中至少有1個和你生日相同的概率＝1-他們所有人都和你不同的幾率＝

區別就在這裡，因為你是指定的特定人選，所以其他任何一個人和你生日不同的幾率都是364/365，都是相同的，連乘即可。

但是如果是概率學裡的任意兩人生日相同問題，就不是這麼算的了，由於沒有特定人選，每核算一個人就得排除掉他，結果就變成了這樣

我們來對比一下這兩種結果的函數圖像：

你看是不是一目了然，我們總覺得50個人中任意至少兩人生日相同的概率沒有那麼高，其實是因為我們下意識理解的是「那兩個人里一定有我！50個人中至少有1個人和我生日相同的概率」，這個幾率當然不高。

綜上可以得出這麼個結論：大多數人對數學概率的直觀認識都是以「我」為中心的。這很哲學。

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奇怪的知識島?

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假設都不相同

獨立事件：第一個人 不相同概率：P1=365/365

獨立事件：第二個人需要在剩下的364天里選：P2=（365-1）/365

獨立事件：第n個人：Pn=（365-n+1）/365

求所有獨立事件發生概率 即50個人都不相同: P=P1??P2…??P50=2.963%

那麼有人相同概率為：1-P=97.03%

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閑聊

首先，相信大多數人直覺上會認為這50名同學生日各不相同的可能性有很多。的確沒錯，共有3.9??10^126種可能

同時，我們還會感覺這50名同學的生日組合可能性有很多。實際上也對，共有1.3??10^128種可能

但是，在日常生活中，這兩個數對於我們來說都太大了。判斷起來就是一個「大數」除以另一個「大數」，形成了一種餘下的選擇很少的錯覺。

為什麼我們很少主動去主動分析「至少2人相同」情況下的可能性有多少呢？

原因出在「至少」二字上。至少2人相同，意味著可能性中既有1對生日相同的，有2對生日相同的，還有3人日生日相同的，甚至分成好幾組…等等，光是分類就非常複雜，何況去估計不同組合後面的具體數值之和。

有一種認知偏差或許可以解釋：

可得性偏差（Availability Heuristic）也是一種常見的認知偏差，它是啟發式偏差的一種，人們往往會根據自己認知上的易得性來判斷事情的可能性，而不是根據統計學數據和系統化的知識來做判斷。

不恰當的例子，好比設計彩票的，如果把中獎規則做的既多樣又易懂，給大家留下的容易中獎的錯覺就越大。

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不考慮閏年，隨便找50個人，他們的生日有

種可能情況，而如果要求他們的生日兩兩不同，只有

種可能情況。這樣就可以算出50個人生日兩兩不同的概率 為

我們觀察這個問題中的計算式

它是 個分數連乘，雖然每個分數都比 小不了多少，但是根據我們對指數運算的直覺，連乘的結果往往比這些分數小得多。

其實我們可以運用均值不等式得到對概率 的一個放大估計

其中的分數化成小數是 看上去和 差不多，但是它的 次方只有

另外我們還有一個經驗，當 充分小時關於不大的整數 成立近似計算

那麼 約為 的 次方。然而如果 比較大，這麼算的誤差就很大了，例如

但實際上

對 的縮小就是對 的放大，即便按照如此程度的放大計算，概率 也沒有超過 那麼正常計算得到 也就不足為奇了。

這個問題雖然被概率論提出，但本質上依然是指數放大，可見指數放大在直觀上是很有威力的，而且它會在各個領域中被體現。

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下面本人的回答的目的在於用大學的知識（泊松近似的想法）粗略而相對簡單的估計出50這個數字。如果你希望超快的建立直觀上的正確感覺，可以移步到這個回答，個人認為還是言簡意賅的好回答。

如何理解50個人中至少兩個人生日相同的概率高達97%？?

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下面是原回答。

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粗略的講，這個50能夠很簡單的大概估計出來。對於兩個人，他們生日相同的概率是多少呢？很好算，就是1/365。是個小概率事件對不對。再選兩個人，他們生日相同的概率還是1/365。如果這兩組人沒有重複的話，第一組生日相同和第二組生日相同還是獨立的。現在我們考慮n個人，一共有n(n-1)/2對。每對相同都是小概率事件，而且對與對之間近乎是獨立的。現在我們問有多少對生日相同。這個是大量近乎獨立的小概率事件的累次發生次數。根據小數定律，這大約就是個泊松分布啊。泊松分布就是大量近乎獨立小概率事件的累次發生次數。泊松分布的參數 是平均意義下有多少對相同，也就是 。沒有一對生日相同的概率是多少？根據泊松分布律，這就是 。現在令 ，解得 ， 。

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許多人日常對概率的理解是錯誤的，不夠理性的。人們心理上天然地會把發生在身邊的事情的概率調高，而沒發生在身邊的事情概率調低。

因為，人的認知是以「我」為中心的。

不過不要緊，學概率不就是為了更加科學，純粹地認識這個世界嗎。

對於題主所說的生日悖論，其實可以用另一個思路來理解（解答），也許就會豁然開朗了。

為了保證您有解答這個問題的能力，我先問一個問題:

就拿你和我舉例吧，你的生日和我的生日不一樣的概率是多少？

好簡單是吧

嗯，如果你能答出這個答案，那你一定能很容易明白這個問題了。

這個思路就是遞歸方法。遞歸方法在我看來是最直觀的解決一些複雜問題的思路之一。

而且，它在概率的討論中，具有極其廣泛的應用。如果您是學生，請務必掌握這種方法，許多問題會迎刃而解。

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首先我們設想：

有一個房間里，現在只有一個人，小明。

過一會，又進來一個人，小黑，小黑的生日和小明不一樣的概率有多大？

很簡單是吧——（我們現在僅僅考慮一年365天的情況，366天其實一樣的）

我們不妨用一個記號 來表示這個概率，這個概率的意思就是，2個人生日不同的概率。

接下來，這個屋子又進來一個人，不給他起名字了，反正你們也不認識。

他和裡面兩個人生日都不一樣的概率是多少？

好簡單是吧——

前三個人生日都不同的概率就很好算了吧？：

一個又一個人進來了……

我們很容易知道，如果前 個人生日都不同的概率記作

那麼，第 個人進來，他和前面 個人生日都不相同的概率超級簡單，就是

所以，第 個人進來後，所有這 個人生日都不相同的概率就是

那麼，現在的問題就是， 個人生日都不同的概率是多少。也就是 等於多少呢？

我相信每個朋友都能寫出來吧：

沒錯，這個數字恰好等於 （請稍微把左邊的式子化簡一下）

這樣一看，是不是最後的結果一點都不突兀了呢~

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