如何证明0.9999无限循环和1之间没有无理数？
直接证明
和
之间没有实数。
用反证法，假设存在一个实数
，使得：
![[公式]]()
因为
，故
。
取
，当
时，有：
。
即：
![[公式]]()
注意到
，故
。
而
，即：
，矛盾，得证。
这个就等价于证明0.9循环等于1呗，数学公理化、戴德金分割整起就行了。
反证法。0.99999...其实就是1-10的-n次方，这里n-&>正无穷。假设存在实数a&>0.999...且&<1，那么0&1-10的-N次方&>1-(1-a)=a，与a&>0.9999...矛盾。
所以其实由此可证0.9999..... = 1
0.9999... = 1，他们是一个数。
0.9999...是1的规范表达
它只是1的另一种写法，等比数列和的极限的写法
想到一个可能的证明方法，使用反证法，假设还有一个数A是在0.99无限循环和1之间。
那么我们还知道0.99无限循环的极限就是1，我们可以把这个转化为epsilon-delta表达式。
假设A减去0.99无限循环为B，那么这个时候也就意味著0.99无限循环和1的距离至少为B，这个时候就不符合0.99无限循环的epsilon-delta的极限表达了，得出矛盾。
所以，0.99无限循环和1之间没有其他的数。
在数学上，我们一般认为0.999…和1是相等的。证明有很多，可以去网上搜一下，这里就写一种最简单的。
1/3=0.333… 2/3=0.666… 以此类推，3/3=0.999…，而3/3又等于1，所以1=0.999…
戴德金分割啊
这个题目在标准分析中有结论，绕不过弯的可以学习非标准分析……
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