这个跟分形几何有什么关系吗？多谢指点。

1967年，数学家 曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）在美国权威的《科学》杂志上发表了一篇严谨的学术论文：《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》。

在论文的第一部分，曼德布罗特讨论了理查森对海岸线与其他自然地理边界的测量出来的长度如何依赖测量尺度的研究。理查森观察到，不同国家边界测量出来的长度L(ε)是测量尺度ε的一个幂律函数。曼德布罗特将此结果诠释成显示海岸线和其他地理边界可有统计自相似的性质。

在论文的第二部分，曼德布罗特描述了不同的关于科赫雪花的曲线，它们都是标准的自相似图形。曼德布罗特利用豪斯多夫方法得到它们的维数介于1~2之间。

在1998年中文版的《大自然的分形几何学》第二篇 第5章 英国的海岸线有多长，也有论述。通过4种测量方法，得出结论。

这里我用一个很规则的分形例子做一个简单说明。

设初始正方形的边长=1单位，用Koch曲线的方法构造一个分形岛屿（图1和2）。生成元是5个相等小正方形，分形属于可填充平面的，分形维数 [公式] 。

分形的边界相当于海岸线，这个边界也是分形。生成元是3条等长线段组成，相似比 [公式] ，分形维数 [公式]

第 [公式] 级岛屿的周长，用尺子长度为[公式]去量，每级岛屿的周长如下：

  • 第 [公式] 级构造的周长 [公式]
  • 第 [公式] 级构造的周长 [公式]
  • 第 [公式] 级构造的周长 [公式]
  • ……
  • 第 [公式] 级构造的周长 [公式]

当 [公式] 时，尺子长度[公式]，周长 [公式] 。

图1 第0级到第3级构造

图2 分形岛屿

海岸线问题是为了引出「分形」和「测度」，这个高赞已经解释得很清楚了。但有一点要注意，拿海岸线举例，并不是真的说海岸线是无穷长的，这只是个引子，类似诗歌里的比兴，真正的重点在后边的数学推导和新概念的提出。

分形是数学概念，和物理世界无关，现实中的海岸线并不是真的数学上的分形，它并不是无限可分的。比如有很多树状的分形，但自然界中真正的树，枝叉的层级通常也就不过五层。

另外，即使是分形，也有长度收敛为有限值的，比如下边这个回答

叶飞影：为什么分形图案的长度是无限大而不是无限接近一个值？?

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此问题可简化为：三角形两边之和大于第三边。

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