1010010001...相邻两个1之间0的个数逐渐加1这个数是有理数还是无理数？

其实我不太明白题主问题的意思，如果你问的指的是：
$[{a_1} = 1]$ ， $[{a_2} = 101]$ ，， $[{a_n} = {10^n}{a_{n - 1}} + 1left( {n ge 2} ight)]$ 。

求 $[mathop {lim }limits_{n o infty } {a_n}]$ ，那么显然数列 $[{a_n}]$ 的极限为无穷大。
因为对，考虑 $[{a_n} > X]$ ，显然 $[{a_n} = {10^n}{a_{n - 1}} + 1 ge {10^n}]$
故，当时，有 $[{a_n} > X]$ ，故数列 $[{a_n}]$ 的极限为无穷大。

但是既然答主构造了这样一个奇怪的数，而且还问它究竟是有理数还是无理数，我猜想是因为他没有表达清楚，可能的意思是，定义：

$[{b_1} = 0.1]$ ， $[{b_2} = 0.101]$ ，， $[{b_n} = {10^{ - n}}{b_{n - 1}} + {10^{ - frac{{nleft( {n + 1} ight)}}{2}}}left( {n ge 2} ight)]$
求 $[mathop {lim }limits_{n o infty } {b_n}]$ 是有理数还是无理数，则答案显然是无理数。
不妨假设是有理数，则必定在某一项后出现循环节，不妨设循环节的长度为，随著的个数逐渐增多，必然出现某一循环中全是，或者出现一个，矛盾，得证。
（这个纯粹是语言证明，不是很严谨，不过相信意思大家都懂）

您好，这是个无穷

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