大概9年前在貼吧看到這個問題，我當時研究了兩天，知道怎麼一回事，不過整理不出一個比較好的證明。

這是IBM研究院1998年的一道智力題

試題鏈接：

IBM Research | Ponder This | August 1998 Challenge?

www.research.ibm.com圖標

解答地址：

https://www.research.ibm.com/haifa/ponderthis/solutions/August1998.html?

www.research.ibm.com

官方解答一：

官方解答二：

官方解答三：

官方解答四：

不知道「同一法」以及「反證法」在題主看來算不算是「好的證明」.

這其實是一個很經典的問題, 我見過很多人 (包括我自己在內) 在人生的某個階段「發現」或者「編擬」了這道題, 給出了各種各樣的證法, 但感覺都不怎麼「好」.

我見過的最簡潔的「證明」是這樣的: (待會兒解釋「證明」為啥要打引號)

不難證明, [公式]中只要有兩條線段相等, [公式]就必定是正三角形. 因此只考慮它們都不相等的情形, 且不妨設 [公式].

考慮把 [公式], [公式]和 [公式]平移到一起, 讓 [公式], [公式]和 [公式]這三條相等的邊重合. 或者說, 重新作下面這個圖:

其中, [公式], [公式], [公式]分別和 [公式], [公式], [公式]全等. 那麼

[公式]

由於

[公式]

因此, 取射線 [公式]和 [公式]的交點 [公式], 有 [公式].

同理, 取射線 [公式]和 [公式]的交點 [公式], 以及 [公式]和 [公式]的交點 [公式], 可證

[公式]

於是, [公式]五點共圓, 這「顯然」是一個矛盾. 這就完成了證明.

這裡我給「顯然」打上引號的原因, 就是前面給「證明」打上引號的原因. 因為最終這個「矛盾」的發現和認定, 依賴於圖形上的直觀經驗, 所以嚴格來講這個證明是不可靠的.

提供一個反證法證明。

若[公式] 不是等邊三角形，不妨設 [公式] 。

可得 [公式] ，

因此 [公式] ；

顯然 [公式] ，

由正弦定理知 [公式] ，

同理[公式] ，

不妨設[公式] 為銳角，

可得[公式] ；

由外角定理知 [公式] ，

則 [公式] ；

則 [公式] ，矛盾；

得證 [公式] 是等邊三角形。

此題有一定難度，從△ABC作△DEF非常簡單，但倒過來幾乎難以作圖，那個人能作出△ABC，可能已找到證明的方法了。

本人想用同一法證明，但作圖無法下手。角BDC與BD的長有關，這就難了！

經二天考慮，

試證明如下，望批評。（反證法也帶有同一法）

可以換一種問法，三角形ABC是什麼三角形。對於任意一點A，易證正三角形ABC是題目的一個解，只要證明對於任意一點A，三角形ABC是唯一的，就能證明正三角形ABC是題目的唯一解，即三角形ABC是正三角形。對於任意一點A，在直線AD上以D為端點長度等於AF的線段只有兩條，即使線段BD=AF的點B只有兩個。從圖上可知，點B位於直線AD上與點A處於點D的兩側，故滿足條件的點B只有一個。因為兩條直線至多有一個交點，則直線AF和直線BE的交點C唯一。綜上，對於任意一點A，滿足條件的點B點C唯一，即三角形ABC唯一。又因為當三角形ABC為正三角形時滿足條件，所以三角形ABC為正三角形。證明不嚴謹，哈哈

建立平面直角坐標系，用向量計算，設數，研究方程的解

兩條邊長相等 那兩條邊說組成的角的cos值相等 角度就相等 sin 角度/cos角度 就得出對邊都相等了

兩邊相等夾角相等。第三邊就相等。三邊相等就是正三角形

既然沒說D,E,F的位置，那我設各自為中點，然後ABC三邊相等，為正三角形。然後若其不為中點，再證明一下是否符合題目條件。

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