这个问题比大家想像的可能还要复杂一些。
第一层是:什么样的形状可以「无限扩展」?
我们在谈论书架的时候,脑子里出现的都是各种方格,自然都可以一个一个垒起来扩展,但是当我们把元素不再仅仅限定为方格以后,实际这是一个有趣的数学问题——「平面镶嵌」或者叫「平面密铺」
用若干类全等形(能够完全重合的图形叫做全等形)无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分,叫做这几类图形能镶嵌(覆盖、铺砌)平面。
于是我们知道,任意三角形,四边形的书架,理论上都是可以无限扩展的,所有凸七边形以上的结构,就不用试了,一定不可以无限扩展。
有意思的是五边形和六边形,目前发现的可以实现平面镶嵌的五边形有15类,他们又被称为「完美五边形」。