這個問題比大家想像的可能還要複雜一些。
第一層是:什麼樣的形狀可以「無限擴展」?
我們在談論書架的時候,腦子裡出現的都是各種方格,自然都可以一個一個壘起來擴展,但是當我們把元素不再僅僅限定為方格以後,實際這是一個有趣的數學問題——「平面鑲嵌」或者叫「平面密鋪」
用若干類全等形(能夠完全重合的圖形叫做全等形)無間隙且不重疊地覆蓋平面的一部分,叫做這幾類圖形能鑲嵌(覆蓋、鋪砌)平面。
於是我們知道,任意三角形,四邊形的書架,理論上都是可以無限擴展的,所有凸七邊形以上的結構,就不用試了,一定不可以無限擴展。
有意思的是五邊形和六邊形,目前發現的可以實現平面鑲嵌的五邊形有15類,他們又被稱為「完美五邊形」。