如何學習幾何學（現代微分幾何，包括微分流形，黎曼幾何等）？
1，非數學系，沒有任何幾何的學習基礎，目前在看諾維科夫的《現代幾何學》
2，目的是學習」流形學習「、」統計流形「
3，希望從整體和微觀作答（包括書籍的選擇、學習的方法、框架的建立等）
謝邀。
以統計流形學習為目標，看看Spivak的Intro to differential geometry這種層次的書看不多就夠了。感覺沒太多前驗知識要求，多元微積分、線代，再一點點點集拓撲的概念就可以了。或者do Carmo, Riemannian Geometry前面幾章；共軛點 Jacobi field這些東西都不一定需要，雖然這些才是微分幾何關注的東西。ML所謂「用到微分幾何」，大部分情況就是會在具體局部坐標下算算度量，聯絡，曲率等等，基本計算的層次，主要是要把流形的基本概念搞清楚。最近有CS的學生問我一些雙曲空間的問題，好像有篇機器學習的論文把歐氏空間的背景換成雙曲空間，然後做同樣的計算，似乎對某些數據集效果更好。
如果你做圖像處理這方面的工作，可能用到inverse mean curvature flow，那個可能真要用到一些幾何分析。還有個信息幾何，具體用到什麼層次的微分幾何我也不太清楚。
年輕人，你確信你真的要學這麼抽象的數學嗎？那我提個醒，別陷得太深，細節摳得太多，否則你發現你會忘記你學習這些工具的初衷是去服務於你的本專業，甚至最後你會發現，數學本身比你本專業有意思，於是你轉學數學了，這種例子屢見不鮮。
有很多做機器學習的人給我發信問你同樣的問題，正好借著這個題目寫下工科背景怎麼學微分幾何，主要面向做機器學習的。
要是想看「流行學習」的paper，根本不需要學習微分幾何，你就把manifold想像成一個曲面，你就可以入門了。這個領域就是打著manifold旗號扯淡。做這個靠"想"，不靠數學。
想要學Wasserstein GAN、optimal transport，你也不用學微分幾何，更不用去學什麼conformal geometry。更更不需要去搞懂數學家寫的optimal transport（搞懂這個你不僅要懂些微分幾何還得懂些實分析泛函分析測度論），找個離散情況的optimal transport tutorial看，有點優化知識你就可以入門了。
如果你想入門Information Geometry，那你確實需要點正經的微分幾何知識，但也不需要很深。基本上搞懂tangent space, connection, metric這些基本概念就行了，連curvature是啥都不需要懂。下面這篇論文的appendix足夠了
Information Geometry and Its Applications: Convex Function and Dually Flat Manifold
這篇論文就是給不懂微分幾何的工科生看的。沒有複雜的微分幾何語言，懂線性代數就能看懂。當然這隻能讓你對Information geometry有基本的概念，想要進入這個領域做research是遠遠不夠的，你還是得認真學些微分幾何才行。
下面寫給那些真正想懂些微分幾何的工科生，推薦給你下面這個網課
A thorough introduction to the theory of general relativity
B站視頻
https://www.bilibili.com/video/BV1Lb411g7nL?from=searchseid=5039952528477915464?www.bilibili.com這門課雖然是廣義相對論的課，但前12課講的都是微分幾何，只聽前12課就好。一般數學系的微分幾何會講的過細，也不會聯繫應用，只見樹木不見森林。而且你要想學黎曼幾何起碼得學兩門課：微分流形和黎曼流形，甚至還得學一些點集拓撲。而純物理出身的講的微分幾何跳的太厲害而且不嚴謹。這個老師是數學背景出身做數學物理得，講的特別清晰而且直觀，即兼顧嚴謹又兼顧大局觀還聯繫應用。12節課把點集拓撲，微分流形，黎曼流形一起搞定，極為經濟實惠。
參考書推薦下面幾本：
First Steps in Differential Geometry Andrew McInerney
Elementary Differential Geometry Barrett ONeill
Differential Geometry Wolfgang Kuhnel
工科生和數學生學微分幾何的側重點肯定是不同的。對於數學生來說學微分幾何主要是為了以後做數學研究做鋪墊。很多教材也是以這個思路寫的，書會寫的比較深而且主要是為了引出更高級的數學。所以很多經典教材不一定適合工科生讀。
對工科生來說學微分幾何基本上是學微分幾何的語言和基本概念，然後用這種語言和概念去描述和解決應用領域問題。
這幾本的特點是比較簡單，每部分不會太深，會以比較快的節奏把整個領域過一遍。很多微分幾何書會講很多古典微分幾何，也就是 里的curve, surface。而這幾本書會很快過渡到differential manifold語言，並會包括基本的Riemannian manifold。單獨的黎曼幾何書都比較難，對工科也沒必要學的那麼深。但是differential manifold部分可以弄的清楚些，因為大部分微分幾何中的概念都是在這部分給出的。所以differential manifold部分可以用下面兩本書作為補充：
An Introduction to Manifolds Loring W. Tu
Introduction to Smooth Manifolds John M. Lee
然後推薦一本神書
A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds
這本書簡直就是看圖說話，別人書里幾章的內容，他連圖帶例子寫了一本書，不能再幼兒了。可惜得是講的主要是differential form，但作為建立differential geometry基本概念的入門讀物挺好的。
最後如果想學一些更進階的概念，比如Grassmann manifold, Lie group, Lie algebra, cohomology, fiber bundle什麼的，那就接著看前面提到的網課老師的另一門課
Lectures on Geometrical Anatomy of Theoretical Physics
B站視頻
https://www.bilibili.com/video/BV1Vx411L748?p=12?www.bilibili.com學了這麼多後很可能就會出現@孫志強的答案里的現象，數學和物理比機器學習有意思，於是你轉學數學或者物理了。
讀peter Peterson
在我看來，學幾何就是要先學會外微分。不建議什麼都不懂去死磕。幾何還必須要學一些關聯的代數, PDE, 變分。等你把概念都弄清楚例子都會算了，基本就可以找個老闆做科研了。。
其它不說，關於流形，應該知道陳省身是如何說的,大意是說實複數都是局部的情形，只有流形才是以後的方向。
曾經差不多花了30多小時下班後時間看黎曼幾何，沒看懂。不過總結了下:
1，沒有基礎沒有足夠的基礎都不可能真懂
2，光有興趣不夠
3，看不懂的話表示基礎沒看透，看懂的話表示基礎也可能沒懂透。
4，查資料就用教材，google或維基百科或matxx不值得
個人總結，不一定對
公眾號：sxxp233
基本上學不懂的，張量分析就要學很久，還是搞搞演算法得了。
非要學就建議學學張量分析
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