有些数学定理相当显然，一看便知，那么为什么这种定理需要证明？
为什么要把这些定理单列出来？
因为有很多看起来很显然但是不对的东西。
有的定理显然，比如实数的完备性这样的，要单独严格证明，是因为他是整个数学大厦的根基容不得半点想当然，或者易证显然。
然而有的定理比如在几何里面像帕斯卡、帕普斯这些画一个图当然显然，但是严格证明不是一眼看穿的。有的简单定理后面水很深的。
问题和补充问题是两个问题。
先回答问题：因为数学的基础理论来源于公理，而不是直觉。虽然公理本身来源于直觉，但是这并不妨碍数学中一些定理比较反直觉，而一些看起符合直觉的定理却无法从现有公理体系中推断出来。比如：戴德金无限和皮亚诺无限是等价的，必须用选择公理才能推出，而不能从没有选择公理的公理体系中推导出来。（如果我没有记错的话）
如果随意把看起来符合直觉的猜想都写成公理（如果你写出来，都不证明，就假设是正确的，那么这个式子不能称为定理，而要称为公理），那么就不能保证数学体系的一致性，也就是，不矛盾的性质。当然，一致性是不容易证明的，哥德尔已经说过了，可能我们现在用的公理体系已经有矛盾了。但是不断加入新的公理，肯定会让体系中更容易产生矛盾，而这也是数学需要避免的。
问题补充部分：这个补充问题实在太难了，和标题难度完全不一样。如果补充问题很简单，那么同一个话题的书就不会各不相同了，因为所有有意义的定理都被找出来了。一个定理的意义大小，并不是很容易判断。有些定理看起来很简单，但是运用非常广泛，而且很多别的定理的证明也基于其上，那么它就很重要。有些定理看起来很难，但是证明起来并不困难，运用也不广泛，或许就不太重要了。不少作者对于定理的重要程度都有不同见解，也就造成了写作时的不同。
有时候，一看便知不代表你真的知。
定理怎么来的，背景，前题，导出，这些各种各样的东西组成一个体系，如果你一个定理不清楚，那等同于白学，真的学到需要大篇幅列定理的时候，我们可不是为了无聊的计算，更多还是逻辑性和严谨性的推导和证明。
我问你一个问题，什么是显然对的，首先它就是一个人的感觉，一个人的直观感受，一个人的过去经验决定的，现在你还觉得他需不需要证明吗？
说不定有些你以为不显然的，在别人看来也显然
因为数学是严谨的
因为很多数学公式有相似性，弄一起你才知道你不是真的会。
主要是理解
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