就是如何互相推出

对于一般的空间, 连通和道路连通并不等价, 但是我们有：

定理一：道路连通空间一定是连通空间[1]

即通常来说, 道路连通要强于连通——可以这么理解, 「道路连通」顾名思义就是通过道路(path)来连接空间中的任意两个点(注意, 道路指的是连续映射 [公式] , [公式] 的像集是弧(curve)); 而「连通」则可以理解为空间中的任意两个点可以通过一系列开集来连接.

因此一般地, 连通空间未必是道路连通的, 反例应该多数拓扑学教材上都有, 这里不再赘述, 我们主要是要证明：

定理二：局部道路连通空间中连通开集(即区域)一定是道路连通的.

证明：如若不然, 设区域 [公式] 中有两个点 [公式] 没有道路连通,定义 [公式]

显然 [公式]

任取 [公式] ,由于 [公式] 是开集, 存在邻域 [公式] ,显然 [公式] 中每一点与 [公式] 有道路连通,因此与 [公式] 有道路连通,从而 [公式] , 于是 [公式] 是开集. 类似可证明 [公式] 是开集, 这表明 [公式] 可以分解为两个不相交开集的并集, 与 [公式] 的连通性矛盾！

故 [公式] 是道路连通空间.

[公式]

参考

  1. ^道路连通空间_百度百科 https://baike.baidu.com/item/%E9%81%93%E8%B7%AF%E8%BF%9E%E9%80%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4

http://www.zhihu.com/question/61064388

他说看 练习 5

似乎是有提示的

核心应该是连续映射保持连通性.

n维欧式空间有一个性质叫局部道路连通，局部道路连通保证了道路连通分支与连通分支相同，而且该性质在开子空间上也成立

Stein的complex analysis第一章的题吧，当时做过，我的做法是这样的，可能图片没那么清楚。

再补充一点，有人说了，拓扑中道路连通必连通，在欧氏空间一般的度量拓扑下，连通开集也是道路连通的。而连通不道路连通的例子有xy平面上(x，sin1/x)的图象是连通而非道路连通的，还有闭矩形[0，1]×[0，1]在序拓扑下也是连通而非道路连通的。这样的例子可以在一些详细的点集拓扑教材中可以找到。

用我发现了《时间生命是一对同在的自然法则》的一对时间统一标准原理模型观点。陀螺仪标准系统原理模型，是一对时间生命运行变化过程系统模型，是一对正中和正反同在的自然法则标准原理系统，是一对内核心和外壳面连通原理模型，都是一对六份统一标准同在的半径时间周期，都是六份统一存在时间数学半径层面立方体模型，都是电脑核心和外面各方面大脑的统一连通原理模型。

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