為什麼負數與正數的乘法運算有交換律？

比如，(-3)×5 是「5 個 -3 的和」，那麼怎麼理解 5×(-3)？怎麼確定它是可以交換的？

同意 @Algebra 的觀點，這種底層問題，得有一定數學基礎再思考。或者說，當你有了足夠的知識以後，自然也就懂了。

自然數乘法，物理意義是幾個幾相加，這種物理意義，只適用於小學低年級，幫助孩子們對乘法有個直觀感性認識。當數的範圍不斷擴大，數學會變的越來越抽象。比如複數，為什麼要強行定義負數的平方根？因為要使二次方程有根。你可以說是數學家沒事閑的，但這麼做自然也是為了用在更多的範圍，讓數學能做更多的事。你如果非得問2i+5到底是多大？它與7誰大？這就沒意思了，不是一個體系，比不了，不能直觀理解。

說了這麼多，只想表達，並不是所以表達示都必須有個物理意義的。數學家創造數學工具，創造完了就放在這了。別的學科，比如物理學家，需要什麼工具就用什麼工具就好了。

反過來說你這個問題，好幾個回答都答在點上了，整數集上，加法與乘法，構成了一個環。單看乘法，這是一個交換半群。即，封閉、滿足結合律，（前兩點構成了半群），有幺元（1），滿足交換律。為什麼是這樣，往深了究，這是定義，是乘法的定義決定的。

說多一點，一個集合，在上面定義一種運算，然後研究這上面的性質，這是一個數學分支。這種運算的運算規則，是可以任意定義的，只要你願意，可以任意定義，然後你可以研究研究你定義的這個結構有什麼性質，等等。我們從小學的這個乘法，這個很自然的定義，也是一種定義。這個定義本身，天然就滿足交換律。如果你願意，可以列一個無限大的乘法表出來，這個就是原始解釋。

-3x5=-1x3x5=-1x5x3=-5x3

抽象的來說全體整數構成一個交換環。

我非常同意這個問題下的其他回答。我下面說一下我自己的一些體會。在學習數學的時候，我們不可避免的要不斷接觸新的抽象的概念。無論是在小學還是在大學都是如此。在剛接觸這些概念的時候，人們往往都是茫然的。因為從未知到已知需要一個過程。在遇到很抽象的概念時，我們往往需要直覺來幫助我們理解。而直覺往往是由例子與練習來構造的。比如說整數乘法。我們剛剛開始學習的時候不知道如何去做乘法，那麼老師會告訴我們可以用幾個幾這樣來做乘法。那麼久而久之你就會建立一種乘法就應該是幾個幾這樣做的直覺。但是直覺並不是全面的。當你學習了新的內容或者說試圖推廣你的結論時，過去所形成的直覺就未必完全正確了。比如說負數的乘法，小數的乘法可能就不能單純的用幾個幾來解釋了。還有一些其他的例子比如說無窮可以比較大小；比如阿廷環是諾特環但是阿廷模不一定是諾特模；再比如不同分支裡面維度的概念等等。所以我們就需要通過例子和練習來不斷的更新的自己的直覺。所以數學的學習就是一種構造直覺然後通過例子和練習來不斷更新自己的直覺的過程。你的直覺越全面你對抽象的概念理解的就越透徹。以上這些並不是我自己總結出來的，但是我看到這個說法之後茅塞頓開並深以為然。我忘記了出處是在哪裡了，找到之後會更新在下面。

不得不說，有的時候，請不要思考這些數學底層的東西，這些東西的深度遠超你的想像

就拿這個問題來說吧:

簡單的說就是乘法交換律，小學內容對吧

可為什麼乘法交換律成立?怎麼證明?

因為整數對加法與乘法構成一個環，可以由此證明

那……什麼是整數?更一般的，什麼是自然數?怎麼定義？

運用皮亞諾公理系統……

再基礎一點，運用數學最底層的集合語言來定義。而關於集合論這種東西(逃)

總之，關於數學底層的東西，請盡量在有足夠的數學基礎後考慮

因為負數乘以正數一定等於負數，因此，只要算出所求數的絕對值就可以了。而這個所求數的絕對值就是這兩個數的絕對值的乘積，而絕對值的乘積（即兩個正數的乘積）是有交換律的。