「无穷」、「极限」本身就会带来和有限不同的性质。当我们把无理数的值写出来的时候，本身已经是以10^n进行整系数展开了。例如

Pi = 3×1 + 1×0.1 + 4×0.01 + 1×0.001 ...

再严格证明的话需要从完备性方面考虑

有意思的问题，这个问题也在高中困扰了我许久哈哈。

我来补充一下其它答主的答案吧（大雾？），所谓无穷个有理数的和，实际上就是一个各项都是有理数的数项级数嘛，而我们把它的前k项和记作s_k，这个所谓的和就是数列s_k的极限了。

然而我们知道有理数集是不完备的（即有理数集中Cauchy列的极限不封闭，也就是不一定还属于有理数集），那么自然就不行啦。

如果你想了解的详细一点的话可以看《陶哲轩实分析》（前面不难的，就是从皮亚诺算术公里来定义正整数，进而定义整数，有理数，最后定义实数，蛮有意思的，对应的网课有b站上陈闯的实变函数）。

既然你都提到了，那我就再提一提为啥要定义实数吧。（emmm不一定正确，属于个人理解）

不知道你有没有注意到，极限的概念是「有问题的」（在大部分高数书中），因为能取极限的一个很重要的条件就是能够无限趋近，什么意思，如果说一个函数f（x）在x趋向于x_0时趋向于a，那么很重要的一点就是让x真的可以无限趋向于x0，所以我们就必须让任意两个实数之间仍存在实数。

为什么呢？

你想啊，如果在上面的某个x1与x0之间没有实数了，那么x最多也就是趋近到x1了，根本不可能「无限趋近」。

一般数分书上对此的证明是任意两个实数的算数平均数（在这两个数之间）仍是实数，当然这就证明了我们所需要的。

但是这里有个问题，为啥两个实数的算数平均数就是实数？

你可能感觉我在说废话，但是确实就是这样，凭啥他就是实数呢？

产生这个问题很重要的一个原因就是我们没有定义实数，也就是我们连实数是什么都不知道，又如何就说一个东西就是实数？

嗯嗯，这也算是Cantor严格化实数理论的一个motivation吧。（大雾）

有理数域Q关于一般的欧式度量是不完备的。所以不是所有有理数列都会收敛到 Q本身内。

而实数域R可以看作 Q的关于欧式度量的完备化，从Cauchy列的角度来看，实数域相当于是「所有由有理数组成的Cauchy列的等价类放在一起构成的集合「。

直观地说，这句话的意思就是，把所有「在更大范围内收敛「的有理数列的极限点都放在一起，组成一个集合，就是实数集。

因为有理数集不是完备集

例如∑1/k！＝e

乍一看咱似乎可以证明无穷个有理数的和只能是有理数，证明过程很基础，就是运用归纳法。也拿 [公式] 作例子，将之写作 [公式] ，先说明第一项 3 是有理数，再利用任意两个有理数加和依旧是有理数这个事实，可以一路递推到「无穷」。相信题主也是用了归纳法或者相似的推理才产生了这样的疑问。

那毛病出在哪里，归纳法不靠谱吗？归纳法的有效性是打包在皮亚诺公理体系（共五条）之中的，而我们所熟知的各类数学基本上都是默认了该公理的，所以归纳法错不了，也错不得，错的是如何使用「无穷」这个概念。

归纳法公理是说一旦某命题可以被归纳证明，则该命题对全体自然数成立。很可惜，一般而言自然数集并不囊括 [公式] 。尽管「对任意自然数」这个谓词隐隐约约地蕴涵了某种朴素的「无穷」概念，但是在严格逻辑的限制下，归纳法处理不了「无穷」，所以也说明不了「无穷」个有理数的加和到底是个什么数。

更进一步，我们是否真可以说 —— 无穷个XX数的和是XX？

口语化表达当然没有问题，但心里一定要似明镜一般了然这句话的局限性。我们看到形如 [公式] 这种加和的时候，想必不会产生任何形式的歧义，毕竟加和符号上头的数字再疯狂终究还是个自然数，有限的，老老实实一个一个累加就好了。可回头再看 [公式] 呢？ [公式] 不是自然数啊，若要严格起来， [公式] 这种写法可是未定义的！所以说，咱千万要记得这其实是 [公式] 的一个「语法糖」，它本身并不意味著无数个数的加和，而是另有取极限那么个逻辑跳跃， [公式] 还是一个自然数，只不过加和之外还有个极限符号 —— 这是两步操作。对于 [公式] 这个例子，更精确的表达应该是有理数数列 [公式] 的累加极限为 [公式] ，或者简单一点讲，其级数为 [公式] 。级数作为一个定义中包含了极限的专门术语，就不太容易引起思维或者语言上的歧义了。

于是乎，咱就可以舒舒服服地说：有理数加有理数依旧是有理数，至于无理数，那是由极限操作引入的。大家还是要感谢各位在数学严格化道路上作出贡献的大贤，不然随心一用的「无穷」概念将导出无穷的矛盾。

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