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難倒整個議題委員會、四位數論專家，還有數學天才陶哲軒的傳奇奧數題目到底有多難？
撰文 | 史丹福狂想曲
玩過奧數或者其他數學競賽的朋友大概都會聽過」傳奇的第6題」。這條題目出自1988年國際數學奧林匹克競賽（International Mathematical Olympiad，簡稱IMO）的第6題，是公認的史上最精彩、也是最困難的其中一道競賽題目。
題目如下：
1 傳奇的第6題
這題目究竟有多困難呢？ 我們先簡介一下IMO的題目來源，好讓大家對這比賽有更多的認識。
IMO競賽是讓全世界不同國家的中學生參與的數學比賽，共有6道題目，比賽分兩天，每天做三題，總共時間為9小時。題目基本上都是證明類題目，每題值7分，共42分。試題大致上會分為簡單、中等與困難三個等級，第1與第4題屬簡單，第2與第5題屬中等，第3與第6題屬困難。題目由主辦國外的各參賽國提供，由主辦國組成擬題委員會，從提交題目中挑選候選題目。各國領隊先於隊員提前數天抵達，共同商議問題及官方答案。
話說當年西德是奧數的超級強隊，曾經於1982與1983年獲得總分第一。但之後幾年卻被蘇聯、羅馬尼亞及美國超越了，搶奪了第一的寶座。有人認為也許是出於復仇心態，西德數學家就出了這道精心設計、極盡困難的題目。澳大利亞數學奧林匹克議題委員會的六個成員都未能解決這道由西德數學家提供的問題，於是他們只好向主辦國澳大利亞的4位最好的數論專家求肋，委員會希望專家能於6小時內解決問題，令人尷尬的是，專家經過一輪苦戰都未能解出題目。於是，議題委員竟然夠勇氣把問題寄往國際數學奧林匹克委員會，不過他們特意在問題旁加上兩顆星，代表這是超難題目——也許難到不應用作競賽題目。委員會作了長時間的考慮後，又竟然真的斗膽敢採用此題，結果這個題目就成了第29屆國際數學奧林匹克競賽的第6題。
委員會有人覺得這可能會成為破紀錄的沒有選手解出的國際奧數問題。然而事實上結果卻並不是那麼悲觀：雖然268名選手在這道題目上的平均得分只有0.6分，為IMO舉辦29年以來平均得分最低的一題，但這個難倒4位數論專家的題目，卻被11位中學生以7分滿分的成績解答出來。
陶哲軒被譽為當今世上最出色的年輕數學家之一。他自小已是數學天才，於10歲、11歲及12歲參加了三次國際數學奧林匹克競賽，分別得了銅獎、銀獎與金獎，是銅獎、銀獎與金獎的最年輕得獎紀錄保持者。他於16歲得到學士學位，21歲得到普林斯大學博士學位，並在24歲成了加州大學洛杉磯分校（University of California, Los Angeles，簡稱UCLA）數學系的終身教授，是該校史上最年輕的終身教授。 他於31歲獲得菲爾茲獎。菲爾茲獎是數學界最高的榮譽，由於諾貝爾獎不設數學獎，所以菲爾茲獎基本上就是等同於數學界的諾貝爾獎。
為何我突然花這麼多的時間介紹陶哲軒呢？因為他參與了1988年的國際數學奧林匹克競賽並獲得金獎，他於頭5題都全取7分，最後的第6題卻只有1分。這條超級難題連當今世上其中一位最出色的數學家都破解不了，令題目更添傳奇色彩。
有一位參賽者，保加利亞選手Emanouil Atanassov卻得到了該題的特別獎。特別獎的得獎者必須要用一種非常漂亮、精彩獨到的方法解題，答案比標準答案更精彩，常常也更簡潔，才有機會得獎，可以說是比得到滿分更困難。而他用到的方法叫「韋達跳躍」（Vieta jumping）。筆者找不到文獻記載中，在這道奧數問題出現以前有沒有人用過此方法解數學題，不過可以肯定的是，這方法在該屆IMO之後變得聲名大噪，現今已是參加數學比賽者訓練時必定會學到的技巧。
2 韋達跳躍
「韋達跳躍」的概念其實都只是來自高中數學，沒有什麼高深的，只不過是利用了極盡巧妙的方法，把初等數學的威力發揮得淋漓盡致而已。這技巧牽涉到兩個重要數學知識：一是韋達定理（Vieta』s theorem），一是無窮遞降法（method of infinite descent）。
韋達定理其實就是二次方程中根的和與積及係數的關係：
這應該是DSE（香港中學文憑考試）高中數學第一課的內容，是廣為人知的（雖然課程沒有用到韋達定理這個很專業的名稱）。
至於無窮遞降法則是一種反證法，用的是「沒有最小，只有更小」的概念。如果我們假設，一方程式如果有一正整數解，那麼應該有一最小的解。然後我們再證明「如果有一解，必有另一個更小的解」，也就是說「沒有最小，只有更小」，這與方程式有最小解互相矛盾。唯一的可能性就是我們的假設出錯，方程式根本上沒有解。
這個方法最先由大數學家費馬使用，他據此證明了x4+y4=z4沒有正整數解，也就是費馬大定理中n=4的情況。歐拉也用無窮遞降法證明過，每個除4後餘數為1的質數都可以表達為兩個平方之和。值得一提的是，這定理也是由費馬最先提出的，雖然他沒有提出證明。
3 破解難題
言歸正傳，我們就試試用這種方法解開傳奇的第6題吧！
將a1與b1代入上面的式子得到，
由此進一步得到a2需要滿足的條件，
根據 (1)，a2必為整數。
根據 (2)，a2不可能是0，因為k不是平方數，b12-k不可能是0。
k是正整數，b1是正整數，(a22+ b12)/(a2b1+1) = k，顯然a2不可以是負數。
大家還記得我們假設過 a1&>= b1 嗎？因此根據 (2)，a2必定小於a1。
這個題目令「韋達跳躍」聲名大噪，現在不少數學競賽的書籍，甚至是大學的教科書都會用這「傳奇的第6題」為例子，所以以現今的標準來看這題目不算太困難。如果現在的IMO再出一道有關「韋達跳躍」的數論題目，參加者們也大概會有不錯的成績。不過它在當年難倒整個議題委員會、四位數論專家、數學天才陶哲軒及很多數學好手，稱這傳奇題目為史上最難的奧數題目絕不為過。
後 記
by 文小剛
還沒完......
雖然證明之後好像就完事了，但我們還可以進一步探索。
下面我們做一下「實驗」，用計算機尋找滿足ab+1可以整除a2+b2的正整數對a,b（只列a&<=b）。如果你真的做了計算，馬上會發現有兩類解。第1類解中的a可以是任意的正整數n，而b是a的三次方：
具體實驗又給我們帶來新的問題，讓我們可以繼續探索。如何理解這第3類看似不規則的解，有興趣的讀者接下來可以進一步考慮，看能不能系統地構造出所有的解。
本文除「後記」外轉載自博客「史丹福狂想曲」，原文題目為「史上最難的奧數題目」，原文鏈接https://drstanford.blogspot.com/2020/02/blog-post.html 。
想要繼續挑戰嗎？1988年國際數學奧林匹克競賽的完整試題在這裡：https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1988
說一道小學奧數題，應該是圖論的範圍
20棵樹，種在不同的幾條直線上，每一條直線種4棵，最多可以種成多少直線？
（原答案描述不準確：20棵樹，每行種四顆，最多可種多少行？）
答案我tm怎麼都想不到
大佬們可以先挑戰一下自己
我們首先可以得到這張圖，易得有23行
但是，我們又可以得到另一張圖
我整個人是懵的，而且我都不會證明25行是最多的
更新一下，有人數了一下...那個25行的圖實際上沒有25行
希望有大佬可以解答
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當整數 n&>2 時，關於 x、y、z 的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。
1
首先，不要因為這圖裡的人長得像小學教學樓走廊上貼的科學家圖，就跳過本文。
讓我們先來到 17 世紀的法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。1601 年的 8 月 17 日，本文的主人公，皮埃爾·德·費馬就出生在這裡。
費馬的父親，是當地的一家大皮革商店的擁有者，同時也是這個地區的第二執政官，換句話說，費馬就是一個「官二代＋富二代」。
費馬小時候並沒有進學校，父親給他請了兩個家庭教師在家輔導——有錢嘛。雖然說費馬小時候並沒有表現出一鳴驚人的神童天賦，但也是一個非常聰明的孩子，他的文科和理科都很不錯。
到了 1617 年，費馬要進大學了。費馬遵從父親的意見，進大學讀了法律專業。因為當時 17 世紀法國男子最體面的職業，是做一名律師——你看，人家在 17 世紀就講究「依法治國」了。而且，家人已經花錢幫費馬買了一個「律師」和一個「參議員」的職位——好吧，剛講完法治，就「啪啪」打臉了。
簡而言之吧，費馬大學畢業後，如願做了律師，並擔任了參議員，雖然政績平平，但官階還是一路上升，最後做到了法國議會首席發言人。直到 1665 年 1 月 12 日，64 歲的費馬安然辭世。
作為公務員，費馬的一生，就這樣結束了。
2
那，費馬和數學有什麼關係？
但事實上，費馬確實一輩子只是個公務員，從來沒當過數學家。數學，只是他的業餘愛好。
那麼好吧，一個「業餘數學家」，為什麼能夠名垂青史？因為，這個公務員費馬，利用業餘時間做的數學研究，對數論、概率論、微積分都做出過不小的貢獻。但相比他留下的那個定理，這些都是不值一提的。
奠定費馬「業餘數學家之王」頭銜的，是 1637 年，在費馬 36 歲的時候，提出了一個非常非常非常牛的定理，叫作：
費馬大定理！
定理就是定理，還要加個「大」，是不是聽上去很高級？（其實是區別於費馬另一個小定理。）
其實這個定理還有個名稱，叫「費馬最後定理」（Fermat』s Last Theorem），意思是所有定理都證明完了，這肯定是最後一個待解的定理。但中國人還是叫「費馬大定理」，不用管了，聽上去高級！
那麼，「費馬大定理」究竟是說什麼呢？
很簡單，那就是（下面一句話你可以自動忽略）：
當整數 n&>2 時，關於 x、y、z 的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。
很簡單不是嗎？簡單到我都不屑於向你們解釋——反正，我們略過這句話，知道它是一個定理就對了。
最可恨的是，當時費馬是在閱讀丟番圖（Diophatus）《算術》的拉丁文譯本時，在第 11 卷第 8 命題旁隨手寫下這個定理的。
關鍵是，他還在旁邊加了一句：「關於此，我確信已找到了一個極佳的證明，但書的空白太窄，寫不下。」（拉丁文原文：「Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.」）
這種管殺不管埋、毫不負責任的做法，拉開了之後 300 多年人類數學史上最艱苦卓絕的場探索。
3
最先做出挑戰的是 18 世紀瑞士偉大的數學家歐拉，他先是發現費馬自己證明了 n=4 的情況，然後在 1770 年，歐拉給出了 n=3 時的證明。
這時，已經過去了 133 年。
之後，全世界最優秀的數學家，圍繞證明「費馬大定理」，開始了慘烈的競爭和接力。
開頭炮的是 19 世紀初法國自學成才的女數學家熱爾曼，在當時法國普遍歧視婦女的情況下，她獨立證明出了當 n 和 2n+1 都是素數時，費馬大定理的反例 x、y、z 至少有一個是 n 整倍數。（知道她達到了這個成就就行，不用去理解。）
然後，1825 年德國數學家迪利克雷和法國數學家勒讓德分別獨立證明「費馬大定理」在 n=5 時成立。
這時，已經過去了 188 年。
1847 年，戲劇性的一幕發生了：當時著名的數學家拉梅和柯西都宣布自己已基本證明「費馬大定理」。
然後德國數學家庫默爾寫來一封信。庫默爾證明不了「費馬大定理」，但他清晰地證明了這兩位數學家的證明都是錯誤的。
庫默爾是著名數學家高斯的學生，他當時還給出了另一個打擊全世界數學家的結論：按照現在的數學方法，「費馬大定理」是不可能證明的。
證明「費馬大定理」的革命浪潮，就此轉入低谷。
一低，就是半個世紀。
4
1908 年，一位叫沃爾夫斯凱爾的德國人，重新將證明「費馬大定理」的熱情點燃了：他設立了 10 萬馬克的獎金，獎勵給最終做出證明的那個人。
沃爾夫斯凱爾為什麼要這麼做？因為「費馬大定理」救了他一條命。
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當然是野題
能說某一類的題嗎？可以的話，當屬手寫題。
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