Riemann-Hurwitz 公式和虧格公式

所謂「計劃沒有變化快」，果然原先分配給我講的內容還是給其他人講了，所以重新分給我講 Riemann-Hurwitz 公式和虧格公式相關的內容。總體上來說比之前的內容更休閑一些，畢竟這部分內容更對我的胃口。

假定有兩個緊黎曼面之間的非常值全純映射，我們想要研究這樣一個映射。由於全純函數局部有很多很好的性質，所以當然可以期待這裡也有很多很好的性質。比如，任取和，可以選取它們附近的坐標系使得這個映射成為的形式。把這個數記為，或者，稱為在點的分歧指數（ramification index）。那麼有兩種不同的情形：如果，則在點附近是一個微分同胚；如果，則在去掉點的附近這是一個 -重覆疊映射，但這個性質在點被破壞了。換言之，在和都去掉一些點之後，這應該是一個覆疊映射。顯然覆疊重數就是映射度，為 $deg f = sum_{p in f^{-1}(q)} u_f(p)$ 。

記 $B_f := sum_{p in X}( u_p(f) - 1) cdot p$ ，那麼這顯然是一個除子（因為的點顯然是離散的），並記 $b_f := deg B_f = sum_{p in X} ( u_p(f) - 1)$ 。

這個映射當然會把上的對象（除子、線叢、層、截面）拉回到上來，所以可以考慮它們之間的關係。比如我們想考慮 canonical bundle，當然這裡就是全純餘切叢或者說 -形式叢。由於每個線叢都等於它的某個非零亞純截面的除子對應的線叢，所以我們可以來看一個上的非零亞純 -形式。局部上可以把寫為 $frac{g(w)}{h(w)} , mathrm d w$ 的形式，那麼在映射的拉回下就有 $f^* omega = frac{g(z^d)}{h(z^d)} (d cdot z^{d-1}) , mathrm d z$ 。於是。左右都乘之後求和就得到除子的等式。等價地，用線叢來寫就是。

然後兩邊都取第一陳類，就知道。

來看一個例子。最簡單的例子當然是，而 $f(z) = z^n + a_1 z^{n-1} + cdots + a_n$ 是由一個多項式（作為上的亞純函數）給出的。顯然，映射度為，下面來看是什麼。容易看出當且僅當是的重根，且重數就是。所以只要看看是否有重根就好了，即和要有公因子。把因式分解成為 $f(z) = n (z - a_1)^{d_1} cdots (z - a_k)^{d_k}$ ，那麼似乎有。

且慢！如果直接把這個結果往公式裡面代入會發現並不正確，因為點被漏掉了。當然要被映到，所以換到另一個坐標（即 $w = z^{-1}$ 的坐標變換）裡面去這個映射應當寫為 $w mapsto frac{w^n}{1 + a_1 w + cdots + a_n w^n}$ ，所以正確的結果應當是，於是，現在 Riemann-Hurwitz 公式成為才是正確的。

再看一個例子。假定是一個格，那麼是一個復環面。如果有一個非零複數滿足，那麼由給出的映射就能約化到。這個映射當然處處都是非退化的，所以 $B_{ar f} = 0$ ，然後 Riemann-Hurwitz 公式當然成立，並不依賴於是多少。當然了，也不難算出映射度，因為此時這個映射是個覆疊映射，映射度就是覆疊重數。容易看出自然的同構，或者說這就是覆疊變換群，而就是「乘以」這個映射，所以像就是。因而覆疊重數就是 $vert pi_1(mathbb C / Lambda , ar0) / mathrm{im} , pi_1(ar f) vert = vert Lambda / alpha Lambda vert$ 。這是個有限的數，因為這個商群是個有限生成阿貝爾群且秩等於零。

作為一個直接的應用，如果是最簡單的黎曼球面，那麼對於適當的和就可以用這個公式求出的虧格。

先考慮一個最簡單的情形，即是一個光滑的次射影平面代數曲線，假設它是次的齊次多項式的零點集。我們固定把 $U_0 := {[Z_0 : Z_1 : Z_2] in mathbb C mathrm P^2 mid Z_0 eq 0}$ 與仿射平面等同起來，坐標為。那麼就對應一個仿射代數曲線，其中。

一個自然的映射是這樣的：在中任取一個點和一個不經過此點的超平面（則同構於），那麼通過此點向這個超平面做投影。比如，取這個點是，取超平面為無窮遠直線 $H := {Z_0 = 0}$ ，那麼在有限平面內這個映射就可以自然地看作 $mathbb C^2 setminus {0} o mathbb C mathrm P^1$ ；再比如，取這個點是，取超平面為 $L := {Z_2 = 0}$ ，那麼在有限平面內這個映射就是向軸做豎直投影。我們把這裡的後一個映射記為，再記自然的包含映射為。如果，則就是一個緊黎曼面之間的全純映射。現在已經知道的虧格是零，只要搞清楚對這個映射就能求出的虧格了。

我們做出如下的假定：第一條，第二條與無窮遠平面不相切。我們很快會看到，第二個條件保證了所有事情都可以在有限平面上來做，畢竟仿射的東西總是相對容易處理一些。容易發現這兩個條件在一個的變換下是容易達到的。

我們來看哪些點滿足，當然也就是過和的直線與在點相切。第二個條件告訴我們這些點都在有限平面內，所以我們只要仿射地來看就好了。在仿射平面內這些直線都是豎直的，所以臨界點就是滿足 $left. frac{partial f}{partial y} ightvert_p = 0$ 的點。

為了求出分歧指數，我們要給出上的局部坐標。如果 $frac{partial f}{partial y}(x^*,y^*) = 0$ ，那麼由光滑性 $frac{partial f}{partial x}(x^*,y^*) eq 0$ ，所以可以選為附近的局部坐標。至於，在有限平面內它就是軸，所以就選為局部坐標。簡單地寫，就是是通過確定的隱函數。對求導，就有 $frac{partial f}{partial x} frac{partial x}{partial y} + frac{partial f}{partial y} = 0$ 。由於 $frac{partial f}{partial x}(x^*,y^*) eq 0$ ，故 $frac{partial x}{partial y}$ 和 $frac{partial f}{partial y}$ 在點消失的階是一樣的。因此，如果記 $Y = left{frac{partial f}{partial y}(x,y) = 0 ight}$ ，那麼就等於和在點的相交數。

但其實應注意到這樣定義的是仿射的，一個「正確的」射影的定義應該是 $Y := left{frac{partial F}{partial Z_2}(Z_0,Z_1,Z_2) = 0 ight}$ ，且顯然有 $frac{partial f}{partial y}(x,y) = frac{partial F}{partial Z_2}(1,x,y)$ ，因此上面關於相交數的說法仍然正確。自然地，總的分歧指數 $b_{pi circ i} = sum_{p in X} ( u_p(pi circ i) - 1) = sum_{p in X cap Y} (X cdot Y)_p = (X cdot Y) = d(d-1)$ 為二者的相交數。

且慢！這裡有一個小問題：為什麼與的交點都在有限平面內。

如果，那麼容易算出在這點處對和的偏導數都是零，於是與無窮遠直線相切。所以前面的第二個條件保證了這一點。此外，這裡還有一個值得注意的事情，即 $frac{partial f}{partial y}$ 與 $frac{partial F}{partial Z_2}$ 的次數並不一定相同，因為前者是後者取之後得到的，有可能次數下降了。當然，容易看出在我們的條件下不會發生這種情況。

最後，應用 Riemann-Hurwitz 就有，即 $g_X = frac{(d-1)(d-2)}{2}$ 。這裡的映射度當然是，因為上一個一般的點的原像數目就是與一條直線的全部交點，相交數為。

另一個相對簡潔的證明是應用 adjunction formula。在這裡有 $K_{X} = (K_{mathbb C mathrm P^2}(X)) vert_X$ ，其中 canonical bundle $K_{mathbb C mathrm P^2} = mathcal O(-2-1)$ ，由是的截面知道，所以 $K_X = mathcal O(d-3) vert_{X}$ 。又因為，所以。不過這個證明似乎與我們的主題沒什麼關係。

最後來看一下有奇點的情況，即考慮是一個帶有奇點的不可約次射影平面代數曲線，而是它的正則化，故。我們只考慮正常二重點這樣的奇點。

首先還是要把位置擺好，在前面的兩個基本要求之外還要求兩條：第三條的奇點都在有限平面內，第四條這些奇點處的（兩條）切線都不是豎直的，即不過點。

同前面一樣地做投影，但現在並不是所有 $left. frac{partial f}{partial y} ightvert_p = 0$ 的點都是分歧點了，因為所有的奇點都滿足這個。於是上面的計算就變成了 $(X cdot Y) = b_{pi circ i} + sum_i (X cdot Y)_{p_i}$ ，這裡後一個求和是對所有奇點求和，當然是有限和。

求這個相交數就是一個局部的問題了。把奇點放到原點來看並按次數寫開，起始的是二次項，於是 $frac{partial f}{partial y}(x,y) = 2 b x + 2 c y + cdots$ 。由沒有豎直切線的條件知道，於是局部在上可以取為局部坐標，即通過 $frac{partial f}{partial y}(x , y(x)) = 0$ 解出來。簡單求導知道，精確到一階有 $y = -frac{b}{c} x + cdots$ ，於是可以代入計算，精確到二階有 $f(x , y(x)) = frac{a c - b^2}{c} x^2 + cdots$ 。因為是正常的二重點，所以，於是在這一點的相交數為。