7.1 Lebesgue 積分的單調收斂定理

Lebesgue 積分的一個重要定理就是單調收斂定理。令為一測度空間。

Theorem 7.1 設是非負可測的實值函數列，且 $forall x, , f_1(x) le f_2(x) le ldots, , lim_{n o infty}f_n(x) = f(x)$ ; 那麼 $lim_{n o infty}int f_n,dmu =int f, dmu$

證：由第六章 Proposition 6.3 (2), 是一個上升實數列，且上界為 (因為 )。令 $L=lim_{n o infty} int f_n$ , 則。接下來我們要證

令 $s=sum_{i=1}^m a_i chi_{E_i} le f$ 為任一非負簡單函數。任取 , 令 $A_n={x: f_n(x) ge cs(x)}$ 。因為給定任意 , 且 ; 所以 $A_n subset A_{n+1}, cup_n A_n={x: f(x) ge cs(x)}=X$ , 即。於是任取 , 我們都有：
$int f_n ge int_{A_n} f_n ge cint_{A_n} s_n=cint_{A_n}sum_{i=1}^ma_ichi_{E_i} = c sum_{i=1}^ma_i mu(E_i cap A_n)$ 由 Proposition 3.5 (3) 可知： $lim_{n o infty} mu(E_i cap A_n) = muigg(igcup_n(E_i cap A_n)igg)=mu(E_i cap X)=mu(E_i)$ 於是，對上面不等式兩邊令得：

$L ge c intsum_{i=1}^ma_i mu(E_i)=cint s$ , 因為是任取的，我們有：
，取上確界得： $L ge sup_{s le f}{int s}=int f$ 。證畢。

注1：上述定理中提到的極限可以是一個有限的實數，也可以是正無窮大

注2：注意到

, 所以上面的結論對在一個

的子集

上也成立注3：注意到 $f_1(x) le f_2(x) le ldots, , lim_{n o infty}f_n(x) = f(x)$ 不需要對所有

都成立；當我們把條件弱化為幾乎處處成立時，定理的結果不變。

Example 7.2 令 , 那麼。但是 , 其中。故 $int f= 0 e -infty= lim_{n oinfty}int f_n$ 。這裡，單調收斂定理不適用，因為這裡的不是非負的。

Example 7.3 令 $f_n=nchi_{(0,1/n)}$ 。那麼 $forall x, f_n ge 0, lim_{n o infty}f_n= 0$ , 但是 $int f_n=n imes (1/n)=1 e 0 = lim_{n o infty}int f_n$ 。這裡，單調收斂定理也不適用，因為這裡的沒有幾乎處處的上升到 - 比如， $forall x in (frac{1}{1+n}, frac{1}{n}), f_{n+1}(x) < f_n(x)$ 。