複變函數——歐拉公式

大家好，我是瓊月，終於畢業了，終於可以干一點自己喜歡的事情了，作為歐拉

的資深小迷弟，歐拉公式可謂牢記心頭，不說廢話了。

開始咯，儘管我比較崇拜歐拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日）

，但不得不承認，歐拉公式的最早提出並非歐拉，而是由英國數學家羅傑·柯特斯(Roger CotesFRS, 1682年7月10 –1716年6月5日)在1714年提出，不過他的公式長這樣：

$sqrt{-1}phi=log_{e}(cosphi+sqrt{-1}sinphi)$ ,其實取個對數，再用替換一下就好了。

1740年10月18日，瑞士數學家歐拉在給瑞士數學家約翰伯努利（Johann Bernoulli，1667年8月6日 - 1748年1月1日）的信中說，

$y=2cosx和y=e^{sqrt{-1}x}+e^{-sqrt{-1}x}$ 都是同一個微分方程的解，因此它們應該相等，1743年他又發表了這個結果，即

$cosx=frac{e^{sqrt{-1}x}+e^{-sqrt{-1}x}}{2}$ , $sinx=frac{e^{sqrt{-1}x}-e^{-sqrt{-1}x}}{2sqrt{-1}}$

1748年歐拉重新發現了柯特斯發現的結果，也可由上式導出。

1777年，歐拉在遞交給聖彼得堡科學院的論文《微分公式》中首次用來表示但很少有人注意它，直到1801年，德國數學家約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日）

系統地使用了這個符號，以後漸漸流行，沿用至今，由和上述式子得

$e^{ix}=cosx+isinx$

當， $e^{iπ}+1=0$ ，等式將5個最富特色的數聯繫在了一起（）

不得不說，數學史講的很生硬??，請見諒。

在證明歐拉公式之前，先看兩個小題：

$i^{i}$

開始證明：

1，復指數函數定義法

因為對於任何複數 ,復指數函數定義為 $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(cosy+isiny)$ ,所以當複數的實部時，就得到了歐拉公式 $e^{iy}=cosy+isiny$ .

2，複數冪級數展開式法

$e^{ix}=sum_{n=0}^{+infty}{frac{(ix)^{n}}{n!}}$ ， $cosx=sum_{n=0}^{+infty}{frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$ , $sinx=sum_{n=1}^{+infty}{frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}}$ ,

所以 $cosx+isinx=sum_{n=0}^{+infty}{frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}+isum_{n=1}^{+infty}{frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}}=sum_{n=0}^{+infty}{frac{(ix)^{n}}{n!}}=e^{ix}$ .

請允許懶惰的我不展開。

3，分離變數積分法

設複數 ),兩邊對求導，得

$frac{dz}{dx}=-sinx+icosx=i^{2}sinx+icosx=i(cosx+isinx)=iz$ ,分離變數並對兩邊積分，得

$int_{}^{}frac{1}{z}dz=int_{}^{}idx$ ,即 .取得，，有即 $e^{ix}=cosx+isinx$

4,極限法

當時，歐拉公式顯然成立；

當時，考慮極限 $lim_{n ightarrow infty}{(1+frac{ix}{n})}^{n}$ , ( , ).

令 $t=frac{n}{ix}$ ,則有 $lim_{n ightarrow infty}{(1+frac{ix}{n})}^{n}=lim_{n ightarrow infty}[{(1+frac{1}{t})^{t}}]^{ix}=e^{ix}$ （1）

另一方面，將 $1+frac{ix}{n}$ 化成三角式，得

$1+frac{ix}{n}=sqrt{1+（frac{x}{n})^{2}}left[ cos(arctan(frac{x}{n}))+isin(arctan(frac{x}{n})) ight]$

由隸莫佛公式得

${(1+frac{ix}{n})}^{n}=left[ {1+（frac{x}{n})^{2}} ight]^{frac{n}{2}}left[ cos(narctan(frac{x}{n}))+isin(narctan(frac{x}{n})) ight]$ ,

而 $lim_{n ightarrow infty}left[ {1+（frac{x}{n})^{2}} ight]^{frac{n}{2}}=1$ , $lim_{n ightarrow infty} cos(narctan(frac{x}{n}))=x$ , $lim_{n ightarrow infty} sin(narctan(frac{x}{n}))=x$

所以有 $lim_{n ightarrow infty}{(1+frac{ix}{n})}^{n}=cosx+isinx$ （2）

由（1）（2）可得， $e^{ix}=cosx+isinx$

5，變上限積分法

考慮變上限積分 $int_{0}^{y}frac{1}{t^{2}+1}dt$

因為 $int_{0}^{y}frac{1}{t^{2}+1}dt=arctant|_{0}^{y}=arctany$ ,又因為

$int_{0}^{y}frac{1}{t^{2}+1}dt=int_{0}^{y}frac{-1}{2i}(frac{1}{t+i}-frac{1}{t-i})dt=frac{i}{2}[ln(t+i)-ln(t-i)]|_{0}^{y}=frac{i}{2}[ln(frac{(y+i)^{2}}{y^{2}+1})-ln(-1)]$ 再設 ,由此得 ,所以有