本文关注数字信号的卷积、反卷积基本概念的理解与矩阵实现

卷积

LTI（线性时不变）系统常用卷积来表征。卷积的定义为：

这个描述加上公式，如同一记闷棍，直接把很多初学者打翻在地。类似的形式很多教材都在用，我当年深受其害。

下面提供一个思路来理清卷积与LTI的概念与关联。

LTI （线性时不变系统）这个名字里就包含了它的两个关键概念。

线性

假设输入1，输出2。如果输入3，那么输出就是6。输入增加，输出等比例增加，就是线性。

时不变

如果t=0时刻输入x[0]=1，输出y[0]=2。那么t=1时刻输入x[1]=1, 输出y[1]=2。不同的时刻给以相同的输入，系统会做出相同的反应，就是时不变。

卷积计算过程

通过一个例子来理解一下计算过程（自己用笔写一下效果更好）。

假设一个系统的冲激响应(impulse response)是h[n]=[3, 2, 1]。（为了简便使用整数）

意思是如果输入x[0]=1，则输出y[0]=3; y[1]=2; y[2]=1。（就是这么拖泥带水，如果每个输入只产生一个输出，就用不到卷积了）

如果给一串输入会怎样呢？例如x[n]=[2, 0, 1] ，过程是这样的：

t=0: 输入x[0]=2，输出应为y[0]=6，（「线性」特点：输入翻倍，输出翻倍）

t=1: 输入x[1]=0，无输入，对应无输出，但因为还残留对x[0]的响应，所以输出y[1]=4

t=2: 输入x[2]=1，对应输出y[2]=3，（「时不变」特点：无论何时输入同样的内容，会有同样的响应），同时系统此时仍残留对x[0]的响应为2，所以最终输出y[2]=3+2=5.（再次应用「线性」特点）

t=3/t=4时刻，系统已没有输入，只有残留的对x[2]的响应，所以输出y[3]=2, y[4]=1.

所以结果是，x[n]=[2, 0, 1]输入到冲激响应为h[n]=[3, 2, 1]的系统中，产生了输出y[n]=[6, 4, 5, 2 ,1]。这个结果与应用卷积公式算得的结果是一样的。

所以卷积并不是什么神奇的操作，本质是一个时刻的输入产生一串输出，它下一时刻的输出叠加（线性）到对下一时刻的输入的响应（时不变）上了。或者换个说法是，当前时刻的输出，除了对当前输入的响应之外，还要加上之前输入的影响。

反卷积

反卷积就是卷积的逆运算，已知输出y[n]和冲激响应h[n]，求输入x[n]的过程，或者已知输入输出求冲激响应。过程不赘述。

卷积与反卷积的矩阵实现

根据前面所说的卷积计算概念，可以有以下两种实现方法：

这两种方法是等价的，对于复杂输入和响应，这样计算就太费劲了。而矩阵计算是自带乘积求和属性的，所以借助计算机来用矩阵来计算卷积是非常方便的。

可以通过构造输入矩阵或者响应矩阵来实现上面两种计算方法：

而对于反卷积，就是求逆运算

上面的例子不能直接逆运算，因为H不是方阵，没有逆。但如果我们将t=3/t=4时刻的输出去掉（因为这时输入已经结束了）。

逆运算直接用matlab或octave计算：

>> H

H =

3 0 0

2 3 0

1 2 3

>> y

y =

6

4

5

>> x=inv(H)*y

x =

2.00000

0.00000

1.00000

总结

这里为了说明方便使用了离散的整数数值，理解了核心概念，就可以将卷积的理解带入到连续信号、二维图像等应用中去。

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