本文關注數字信號的卷積、反捲積基本概念的理解與矩陣實現

卷積

LTI（線性時不變）系統常用卷積來表徵。卷積的定義為：

這個描述加上公式，如同一記悶棍，直接把很多初學者打翻在地。類似的形式很多教材都在用，我當年深受其害。

下面提供一個思路來理清卷積與LTI的概念與關聯。

LTI （線性時不變系統）這個名字裏就包含了它的兩個關鍵概念。

線性

假設輸入1，輸出2。如果輸入3，那麼輸出就是6。輸入增加，輸出等比例增加，就是線性。

時不變

如果t=0時刻輸入x[0]=1，輸出y[0]=2。那麼t=1時刻輸入x[1]=1, 輸出y[1]=2。不同的時刻給以相同的輸入，系統會做出相同的反應，就是時不變。

卷積計算過程

通過一個例子來理解一下計算過程（自己用筆寫一下效果更好）。

假設一個系統的衝激響應(impulse response)是h[n]=[3, 2, 1]。（為了簡便使用整數）

意思是如果輸入x[0]=1，則輸出y[0]=3; y[1]=2; y[2]=1。（就是這麼拖泥帶水，如果每個輸入只產生一個輸出，就用不到卷積了）

如果給一串輸入會怎樣呢？例如x[n]=[2, 0, 1] ，過程是這樣的：

t=0: 輸入x[0]=2，輸出應為y[0]=6，（「線性」特點：輸入翻倍，輸出翻倍）

t=1: 輸入x[1]=0，無輸入，對應無輸出，但因為還殘留對x[0]的響應，所以輸出y[1]=4

t=2: 輸入x[2]=1，對應輸出y[2]=3，（「時不變」特點：無論何時輸入同樣的內容，會有同樣的響應），同時系統此時仍殘留對x[0]的響應為2，所以最終輸出y[2]=3+2=5.（再次應用「線性」特點）

t=3/t=4時刻，系統已沒有輸入，只有殘留的對x[2]的響應，所以輸出y[3]=2, y[4]=1.

所以結果是，x[n]=[2, 0, 1]輸入到衝激響應為h[n]=[3, 2, 1]的系統中，產生了輸出y[n]=[6, 4, 5, 2 ,1]。這個結果與應用卷積公式算得的結果是一樣的。

所以卷積並不是什麼神奇的操作，本質是一個時刻的輸入產生一串輸出，它下一時刻的輸出疊加（線性）到對下一時刻的輸入的響應（時不變）上了。或者換個說法是，當前時刻的輸出，除了對當前輸入的響應之外，還要加上之前輸入的影響。

反捲積

反捲積就是卷積的逆運算，已知輸出y[n]和衝激響應h[n]，求輸入x[n]的過程，或者已知輸入輸出求衝激響應。過程不贅述。

卷積與反捲積的矩陣實現

根據前面所說的卷積計算概念，可以有以下兩種實現方法：

這兩種方法是等價的，對於複雜輸入和響應，這樣計算就太費勁了。而矩陣計算是自帶乘積求和屬性的，所以藉助計算機來用矩陣來計算卷積是非常方便的。

可以通過構造輸入矩陣或者響應矩陣來實現上面兩種計算方法：

而對於反捲積，就是求逆運算

上面的例子不能直接逆運算，因為H不是方陣，沒有逆。但如果我們將t=3/t=4時刻的輸出去掉（因為這時輸入已經結束了）。

逆運算直接用matlab或octave計算：

>> H

H =

3 0 0

2 3 0

1 2 3

>> y

y =

6

4

5

>> x=inv(H)*y

x =

2.00000

0.00000

1.00000

總結

這裡為了說明方便使用了離散的整數數值，理解了核心概念，就可以將卷積的理解帶入到連續信號、二維圖像等應用中去。

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