为什么秩为1的矩阵可以写成1列乘1行的情形呢？
为什么秩为1的矩阵可以写成1列乘1行的情形呢？不是很懂，希望大家帮忙证明一下，谢谢大家！
不光是秩为1的情况，秩为k的情况下，m行n列的矩阵都可以分解成m行k列矩阵和k行n列矩阵的乘积。证明也很简单，n个列向量张成的线性空间任取一组基作为m行k列矩阵，再将原来的n个列向量分解到基底，相应坐标作为k行n列的矩阵，则它们的乘积就是m行n列矩阵，这就是矩阵乘法的一种意义——基底变换。
来写个通俗易懂的答案。
矩阵的秩为 1，就是说各行之间都成比例。也就是说，每一行都等于某个非零行整体乘以一个系数。
那么，把这些系数排成一个列向量，把那个非零行当成行向量，可以验证，二者相乘就等于原来的矩阵。
设矩阵 ，其中
是
对角化后的矩阵. 因
，故
的非零元素只存在于：
令 必有
代入初始矩阵方程
于是 可以被新的向量
与
表示.
以三维矩阵为例。
秩为1的矩阵 ，其列向量组的秩也为1，也就是说可以用一个列向量的不同倍数表示任何一列，比如说用第一列表示为
其中 是常数，
是三行一列的列向量。根据矩阵的乘法法则，易得
这正是一列乘一行的情形。
一个构造性的证明：
任何秩为1的矩阵A，都可以通过初等行列变换，变成E11，也就是左上角元素是1，其余元素是0的矩阵。E11可以写成(1,0,...,0)*(1,0,...,0)，其中表示转置。
记(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)=(1,0,...,0)。
现在从E11反过来，用初等行列变换还原出矩阵A来。而每一部初等行列变换都可以通过两个向量(a1,a2,...,an)和(b1,b2,...,bn)的操作来表示。例如，交换第i行和第j行，就是把ai和aj交换位置。把第i行的k倍加到第j行，就是把ai的k倍加到aj上去。第i行乘常数c，就是ai变成c*ai。同理，初等列变换就是对(b1,b2,...,bn)这个向量的操作。
因此把E11变成A的过程，构造性地给出了(a1,a2,...,an)和(b1,b2,...,bn)的计算方法。
利用二阶子式均为零，得到矩阵中不同位置元素的比例关系
可以参考矩阵的满秩分解
线性映射 可以分解成满射
和单射
的复合，
比如 的时候，把
看成是自然投影，它是满射，并且
，那存在唯一单射F,使得
。直观上看就是
中的元素a通过
映射到
中元素b,可以通过两步来实现这个映射，先把a分到b在映射
下的原像所在的类，然后这个类映射到b
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