例 設 f 是 (-infty,+infty) 上的函數，對任意的 x ， yin(-infty,+infty) ，都有

|f(x)-f(y)|le (x-y)^2

證明：對任意的 x ， yin (-infty,+infty) 及任意的正整數 n ，都有 |f(x)-f(y)|le frac{1}{n}(x-y)^2

解答 只需證明：對任意的 xin (-infty,+infty) ， f(x)equiv c （其中 c 為常數）

取 x=frac{x+y}{2} ，得 |f(frac{x+y}{2})-f(y)|le (frac{x+y}{2}-y)^2=frac{1}{4}(x-y)^2\ ag{1}

取 y=frac{x+y}{2} ，得 |f(x)-f(frac{x+y}{2})|le(x-frac{x+y}{2})^2= frac{1}{4}(x-y)^2\ ag{2}

（1）、（2）式相加得 |f(frac{x+y}{2})-f(y)|+|f(x)-f(frac{x+y}{2})|le frac{1}{2}(x-y)^2

又由絕對值不等式得 LHSgeq |(f(frac{x+y}{2})-f(y))+(f(x)-f(frac{x+y}{2})|=|f(x)-f(y)|\ ag{*}

於是我們證明了

|f(x)-f(y)|le frac{1}{2}(x-y)^2

由此類推，對任意正整數 m ，我們有 |f(x)-f(y)|le frac{1}{2^m}(x-y)^2

令 m ightarrowinfty ，此時 RHS ightarrow0 ，因此 |f(x)-f(y)|le 0Rightarrow f(x)equiv f(y)

因此 f(x) 為常值函數，原不等式必定成立，證畢。

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