[整理]Jacobi三乘積恆等式的一個簡單證明
Jacobi恆等式就是
下面給出一個證明。
先證兩個引理:
與
需要 ;後者還需要 。不妨設
由乘積形式,顯然有
寫成求和形式,就是
也就是遞推關係
然後累乘就可以了。第二個等式同理。
接下來,我們開始證明。
注意到當 ,後面的因子中一定會出現一項 ,因此可以放心地把求和下限放在負無窮。
接下來我們看右邊的連乘式:
再代回去:
交換求和順序,把 湊成指數上的完全平方,並且創造一對 ,分別放進前面和後面:
最後我們把連等式的開頭和結尾拼在一起,就得到結果啦!(LaTeX累死)
當然,由於引理的適用範圍,我們只證明了 的情況。剩下的,解析延拓就解決了。
References
[1] G. E. Andrews, A Simple Proof for the Jacobis Triple Product Identity. AMS Joural.
[2] Jacobi Triple Product using Eulers identities, StackExchange.
題圖源自維基百科。
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