要問這二十多種方法里哪個最厲害，毫無疑問，非泰勒公式莫屬. 當初我們學了「等價無窮小量代換」這個方法以後，有很多原來不會算的極限可以瞬間解決，把一些亂七八糟的函數換成了十分簡單的 x 啊， frac{1}{2}x^{2} 啊. 有一個事實，「等價無窮小量代換」，其實就是泰勒公式展開的特例. 僅僅是特例就這麼厲害，相信「泰勒公式展開」這整套方法一定更厲害的！當然，泰勒公式跟泰勒·斯威夫特沒啥關係.

首先，什麼是泰勒公式？麥克勞林公式又是什麼鬼？泰勒公式就是一個任意可導函數用多項式近似表示的式子. 把一個函數按照後面講的規則展開成多項式的過程，就是泰勒展開的過程. 泰勒展開有「在哪一點處展開」之說，如果你在 x=0 處展開，那越靠近 0，展開的項數越多，原來的函數和多項式值也就越接近. 在 x=0 處展開的泰勒展開式，又叫麥克勞林展開式. 看來麥克勞林展開式是泰勒展開式的一種特殊情況. 我們在極限運算中，常用到的還是麥克勞林展開式.那麼怎麼對一個函數進行麥克勞林展開呢？舉一個具體例子：展開 sinx . 在這兒

只講步驟，就不講為什麼了.

第一步，求出函數的各階導函數. 對於 f(x)=sinx ,我們就有

第二步，求出函數在展開點的各階導數值（麥克勞林展開的話就求 0 處的導數值）. 對於 sin x ，就有

看來是 0,1,0, 1四個數循環.

第三步，將各階導數值代進麥克勞林公式

中去. 其中最後的 o(x^{n}) 是比 x^{n} 高階的無窮小，在這裡有個名字，叫「佩亞諾余項」. 對於 sin x 就有

最後加到x 的幾次方，就再在最後加上一個比 x 的幾次方高階的無窮小，此時我們也就說

這是一個幾階的麥克勞林公式. 比如 sin x 的五階麥克勞林公式就是

我們把高階無窮小略去，就得到 sin x 的一個近似計算公式

而且我前面說了， x 越靠近 0，公式的精確度是越高的. 如果拿計算器檢驗一下，會發現 sin0.1 =0.09983341664 ......，而把 0.1 代進上述的近似多項式，會得到它的值是0.09983341666....這精確度很贊吧？

以下列舉了幾個常見函數的帶佩亞諾余項的麥克勞林展開式（背過比較好）：

為了便於應用，以下是實用版本的麥克勞林展開式：

如果在做題時有更高階的展開式的需要，可以自行推導並記住.

我們還是只討論怎麼用麥克勞林展開式計算極限. 對於在其它點處展開的一般的泰勒公式，在極限的計算中並不太常用，所以這裡不講了.

依然舉具體例子，求極限

這道題用等價無窮小代換和洛必達法則也很簡單：

接下來用泰勒公式法（實際上用的是麥克勞林公式，但大家習慣稱之為泰勒公式法）來做這道題. 方法是：把分子分母展成相同階數的麥克勞林公式，由於分母 sin^{3}x 比較容易利用等價無窮小代換變成 x^{3} ，所以我們考慮把分子展開成帶佩亞諾余項的三階麥克勞林公式. 分子上的兩項展開後分別是

所以它們相減應該是

其中一定要注意，兩個比 x^{3} 高階的無窮小相加或相減，還是比 x^{3} 高階的無窮小

（這個一會兒會詳細介紹）！

所以原極限

這乍一看好像比洛必達法則麻煩不少對吧？因為我出了一道簡單題，而且一開始對這個方法還不熟練. 一會兒來一道麻煩的，就體現出泰勒展開法的優越性了.

在這裡先對這個方法進行一點補充說明. 泰勒展開法解決的一般是當 x ightarrow0 時的極限，本質上就是「把分子分母都用多項式代替，再加一個比多項式中每一項都高階的無窮小，使得當 x ightarrow0 時多項式里可以把 x 的低次冪全抵消掉，只留下一項，高階無窮小直接略去，快速得到極限值」. 其中最關鍵的步驟就在於，怎麼把一個函數展開，或者說需要我們展到幾階. 其實展開很容易，就是求導，對於一些簡單的函數我們還可以直接背誦展開式，現在的問題是展到幾階比較合適呢？實際上，沒有一個理論可以直接確定該展開到第幾階（有人總結出「上下同階」「冪次最低」原則，事實上也只是做題經驗而已，讀者若感興趣，可參照《張宇高等數學 18 講》）. 那展開到什麼程度為止呢？除了高階無窮小，剩下的可以約分而且能剩下一個常數為止（（比如剛才的那題，除了高階無窮小 o(x^{3}) ，剩下的可以把 x^{3} 約掉，剩下一個 frac{1}{3} ）.不過一般分子分母展開的階數是相同的，如果你看到分母上是三次方的（即 x 的三階無窮小），那分子也展開成三階就好（上下同階）.

有時候，我們需要展開的是兩個簡單函數相乘的形式，比如上面的 xcosx ，這時候其實不用逐階展開，因為對函數的乘積求導太麻煩了. 我們可以直接背 cosx 的展開式，再乘上 x 就好. 再比如像三階展開 sinxcdotsqrt{x+1} ，完全可以把 sinx 和 sqrt{x+1} 的公式背下來，都展到三階，然後乘起來，把高於三階的都略去，變成高階無窮小 o(x^{3}) .在此介紹一下高階無窮小的運算律：

作為練習，我們三階展開一下 sinxcdotsqrt{x+1} .代前面公式再相乘有：

其中我用框圈出來的，都不要，因為框里的都是比 x^{3} 高階的無窮小，所以合起來最後記作一個 o(x^{3}) 就行. 以後看見高於三次就直接不用寫了，我寫出來是為了讓過程更清晰. 雖說看上去這過程挺麻煩的，但如果你自己展一個，會發現根本沒有想像得那麼困難.

再多的理論分析也不如「題感」，還是要多加練習. 這種方法可謂是很多極限的通法，如果學會了這方法，在極限這一方面你就很厲害了.

接下來實戰一下，求一個前所未有的極限:

這道題我為了讓大家看明白，寫得啰嗦了點，做的時候不算麻煩的,非常簡單.

這道題除了泰勒公式展開，我還暫時沒想到別的辦法，就算是用加減法的等價無窮小代換，分子也是會被消掉的. 看得出來，泰勒公式展開在處理一些複雜極限的時候，擁有著無可比擬的優越性，所以遇到很難很難的極限的時候，可以考慮用泰勒公式展開的方法，如果練得熟練，不會耗費很多時間，不過錯誤率也挺高的，因此應當多加練習. 當然，如果是很簡單的極限題，就犯不著用這個方法了，否則就有些大炮打蚊子——大材小用的意味了.


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