物理隨機過程筆記（2）

本筆記僅作學習交流之用

連續型隨機變數

概率累計函數

對於概率密度函數 ,我們規定其概率累計函數(Probability cummulative function) 為 $C(x)=int_{-infty}^{x}dxF(x)$ ，注意其中為引入的啞變數。是一個非遞減函數，它的概率學意義在於它描述了當隨機變數時的概率，因而有： ,

2.生存概率函數

生存概率函數，顧名思義，隨時間增大而減小（Roger Jones教授原話：Probability of survival decreases with time)，概率學意義是在之前，事件不會發生的概率，因而： $P(x)=int_{x}^{infty}dxF(x)$

利用積分的定律，對於上述兩種函數，易知： $F(x)=-dfrac{dP(x)}{dx}=dfrac{dC(x)}{dx}$

高斯分布（正態分布）

高斯分布不少人在高中甚至初中就學過，卻很少有學生真正在高中就真正參悟到其中的原理的。Rojer Jones教授帶領我們從積分開始入手，真正參悟到高斯分布的實質，使人大呼過癮。

歸一化條件

一元隨機變數服從高斯分布，則有概率密度函數： $F(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}expleft( frac{-(x-mu)^2}{2sigma^2} ight)$ 其中是期望值。

對於其歸一化條件的確認，首先，先證明將要用到的結論：泊松積分公式 $int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}dx=sqrt{pi}$

證明：令： $I_x=int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}dx$ $I_y=int_{-infty}^{infty}e^{-y^2}dy$ ,兩者數學意義上等價

有： $I_xI_y=int_{-infty}^{infty}{e^{-x^2}}dxint_{-infty}^{infty}e^{-y^2}dy$ 轉化成二重積分，有： $I_xI_y=int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}{e^{-x^2}}e^{-y^2}dxdy=int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}{e^{-(x^2+y^{2})}}dxdy$

轉化到極坐標下，即 $r^{2}=x^2+y^2$ ,利用雅可比矩陣進行變數代換，則：

$I_xI_y=intint_{R}{re^{-r^2}}drd heta$ ，確定積分上下限，有： $I_xI_y=int_0^{2pi}int_{0}^{infty}{re^{-r^2}}drd heta=2piint_0^{2pi}{re^{-r^2}dr}=2pileft[ frac{-e^{-r^2}}{2} ight]_0^infty=pi$

故： $int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}dx=sqrt{pi}$ 證畢。

作變數代換： $t=frac{(x-mu)}{sqrt2sigma}$ ，有： $dfrac{dt}{dx}=dfrac{1}{sqrt{2}sigma}$

則易得： $int_{-infty}^{infty}{F(x)}dx=dfrac{1}{sqrt{2pi}{sigma}}int_{-infty}^{infty}{e^{-t^2}}{sqrt2sigma}{dt}=dfrac{1}{sqrt{2pi}{sigma}}sqrt2sigmasqrt{pi}=1$

故高斯分布歸一化特徵得證。

至此，筆者在高中對於正態分布的疑惑被解決，真是大快人心。

2.期望：

對於高斯分布之期望，欲證明

我們求積分：

$langle{x} angle=int_{-infty}^{infty}{xF(x)}dx=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}int_{-infty}^{infty}-xexpleft( frac{-(x-mu)^2}{2sigma^2} ight)$

令： $z=frac{x-mu}{sigma}$ 且 $dfrac{dx}{dz}=sigma$

則： $langle{x} angle=frac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^{infty}(sigma{z}+mu)expleft( dfrac{-z^2}{2} ight)dz=frac{1}{sqrt{2pi}}left(int_{-infty}^{infty}sigma{z}expleft( dfrac{-z^2}{2} ight)dz+int_{-infty}^{infty}{mu}e^{-dfrac{z^2}{2}}dz ight)$

奇函數積分結果為零，故： $langle{x} angle=frac{1}{sqrt{2pi}}left(int_{-infty}^{infty}{mu}e^{dfrac{z^2}{2}}dz ight)=mu{dfrac{sqrt{2pi}}{sqrt{2pi}}}=mu$

證畢。

注意其中，根據換元易知: $int_{-infty}^{infty}e^{-dfrac{z^2}{2}}dz=sqrt{2}sqrt{pi}$

3. 方差Variance

對於高斯分布之期望，欲證明：

求積分： $langle(x-mu)^2 angle=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}int_{-infty}^{infty}(x-mu)^2expleft( frac{-(x-mu)^2}{2sigma^2} ight)$

令： $a=dfrac{1}{2sigma^2},u=x-mu$

則： $frac{1}{sqrt{2pi}sigma}int_{-infty}^{infty}(x-mu)^2expleft( frac{-(x-mu)^2}{2sigma^2} ight)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}int_{-infty}^{infty}u^2expleft( -au^2 ight)du$

對於積分 $int_{-infty}^{infty}u^2expleft( -au^2 ight)du$ 我們可以採取分部積分法，但是太過繁瑣複雜。這裡引進費曼技巧，即積分符號內取微分，這種技巧十分好用。

觀察積分式可得：

$int_{-infty}^{infty}u^2e^left( -au^2 ight)du=int_{-infty}^{infty}left(- dfrac{partial}{partial{a}}{e^{-ax^2}} ight)dx=- dfrac{partial}{partial{a}}left(int_{-infty}^{infty} e^{-au^2}du ight)$