如何向無數學分析基礎的同學講明白自然數和整數哪個多？
問題來源於「自然數和有理數哪個多？」。
始終無法理解，自然數是 0，1，2 這樣的整數，有無窮多個。但是有很多種方法可以證明有理數比自然數多啊，或者整數比自然數多，整數包含負數，一一對應的話，怎麼從負無窮開始對應？「整體大於部分」這個理論不對了嗎？
不具備一定的基礎知識或者沒有遇見一些特定問題，去科普的意義不大。
基數理論一般在實變函數課程里講，講這個的目的是澄清可數無窮和不可數無窮。
有限可加的測度太難用，不可數無窮沒法得到有意義的求和，只有可數可加才能建立比較好的測度理論。
所以在實變函數課程里講基數可以看作是為了建立可數可加的測度理論澄清一些背景知識。
在基數的體系下，整數、自然數、素數都是一樣多的。
但是在別的語境下，比如搞數論的人說素數比整數少得多，也不算錯，這相當於一種較弱的測度。
此外還有第一綱集和第二綱集的觀點，它需要一定的拓撲。
當然，必須承認，基數理論是最普遍的，幾乎不需要什麼預設的結構。
（而測度和綱只在特定的空間中有意義，具體的測度或拓撲也有多種選擇。）
因此，說到多少，默認為基數觀點。
「整體大於部分」的觀點沒錯，但是它的適用性太狹窄，如果嚴格按照這個觀點，你甚至不能說英文字母比小於2的自然數多，因為它們沒有包含關係。
多少，適應的是有限集。而無限已不適用多少的概念。兩個集合元素個數都是無窮大。比較兩個無窮大，一般比的是其階的大小，而不是多少。它倆同階。
私以為（望指正
結論：一樣多。
這個涉及到了離散數學的映射和基數的知識點。
自然數（N）、整數（Z）、有理數（Q）之間是等勢的。
數學界定義他們的基數讀作阿列夫零
也就是說存在一個映射關係，使得他們每一個元素可以一一對應。
我們姑且不把0視為自然數。將自然數定義為正整數，即1234…
有一個神秘旅館的例子可以解決題主的疑惑。據說有一個神秘的旅館，有無窮多個房間，也就是有自然數集一樣多的房間，每個房間都住著一個自然數。（1住1號房，2住2號房，依此類推）
這時候0來到前台，老闆抱歉的說房間已經被自然數住滿了。0說，請每一個自然數都搬到n+1的房間里就好了。（1住2號房，2住3號房，依此類推）這樣，所有自然數都往後挪了一個房間，0住進了1號房。
然後，悲催的事情發生了，所有的負整數來到旅館要求入住。老闆說，來有限個客人我只要依樣讓0和自然數往後挪幾個房間就好了，這無窮多個怎麼辦哪？0告訴老闆，沒問題，你讓自然數搬進單數的房間，把雙數的房間讓出來給負整數就ok了。（0住1號房間，1住3號房間，2住5號房間，3住7號房間，依此類推。空出2468…號房給負整數，-1住2號，-2住4號，-3住6號，依此類推）
照這個辦法，再來幾隊整數這個旅館照樣有房間招待（讓現有的房客搬到單數房間，空出雙數房間給新客人）。所以自然數不但和整數一樣多，而且和有窮多隊整數數量之和一樣多。
當這個旅館裡住了好幾隊整數的時候，我們不也可以認為任何一隊整數不過住了這個旅館中的一部分房間嗎？所以，特別構造一下，整數和自然數可以互為整體和部分。
這裡補充個知識點，這個旅館是招待不了無理數集的，那相當於要招待無窮多個整數集。當出現這種情況的時候，所有的房客會發現無論他們怎麼搬家，總還是有無窮多的新客人等著入住。
理論上的說法好像是無理數集的勢更大，而整數集和自然數集的勢等同。首先，如果只是按一個個數的話，肯定沒法比，因為兩者都是無窮個。
那麼兩個無窮集合是不是就不能比較呢？怎麼比較呢？
這裡就引入了映射，就像打牌，你每出一張牌，我都能接牌，你就不能說贏。
比如偶數和整數，可以輕鬆構造X=&>2X 的映射，你出1，我出2，你出2，我出4，你儘管出牌，我永遠有牌出，那麼你就不能說整數比偶數多，也就是說 整數不多於偶數（當然，基於整體部分，偶數肯定不會多於整數，所以整數跟偶數一樣多。
再比如有理數和自然數，所有有理數都可以表示成(+/-)m/n
可以構造映射 m/n =&> (m+n-2)(m+n-1)+2m, -m/n =&> (m+n-2)(m+n-1)+2m +1
（實際是構造m/n 矩陣，然後從左定點開始斜線一層層遍歷，把分數對應成序號，為了兼容負有理數，所以將其*2，把負數做+1處理，塞進去）
可以保證每一個不同的有理數都能對應到一個不同的自然數，也就是說你出一張牌我也出一張牌，不帶重樣，所以有理數不比自然數多。
在無窮的領域，整體不一定大於部分。
比如，1厘米線段上點的個數 = 0-1之間實數的個數=全體實數的個數=全宇宙空間點的個數。
2020.1.26更新一下
很感謝大家的贊同和評論，現在學了半學期數學分析，終於認識到了數學的魅力。更發現以前思考糾結的好多悖論原來都有清晰的解釋。(看來真的是思而不學則殆啊)
----------以下是原回答----------
今天參加復旦大學自主招生考官問了我這道題。
我受之前回答的問題影響，張口答了「一樣多」這個答案。結果他叫我證明。
我想了想，設有集合A是整數集，集合B是自然數集，那麼我可以讓A中的正整數n對應B中的2n-1，讓A中的負整數-n對應B中的2n，A中的0對應B中的0。
那麼對於A中的所有元素，在B中有元素與之唯一對應，B中所有的元素，在A中也有唯一對應，是不是就意味著AB中的元素一樣多了呢？老師說我思路可以，放我走了。。。。
但是很糾結的問題是，自然數是真包含於整數的，從這個角度來說整數集的元素個數要多一些。
然後我就凌亂了。。。。
這個問題真不好說。不過如果是自招面試的話，老師可能更喜歡聽非常規答案吧。
摘要：
1. 回顧我們對正整數的認識2. 從個數到勢
謝邀。
先說答案，是一樣多。只要初中知識就能理解！
他們都是有無窮多個數。所以問題的關鍵在於你如何理解個數為無窮的情況。
1. 回顧我們對正整數的認識
回顧下我們是如何學習1，2，3的，當我們說2時，我們總是形象化為2個蘋果或者其它實物。實際上集合是直觀的，比如兩個蘋果，而我們的正整數是抽象的，我們在一年級第一次學習計數的時候就是構造一個集合，通過這個集合的個數來認識正整數的。
因此這裡的問題是當這個集合的個數是無限的時候，我們要怎麼辦？
難道把所有的無限集合都看成是一樣多，籠統地稱為無限嗎？
2. 從個數到勢
答案顯然不是。
這時我們要對『個數』這個概念進行延拓，既要使得對無限集有意義，同時在有限集上跟個數的含義是吻合的。
為了更好的表達，我們使用一個專業術語：勢(cardinality)。
假設集合 我們說集合A的勢為2，集合B的勢為4。
沒錯，我們定義有限集的勢為其元素個數。
那麼一般情況下如何定義一個集合的勢呢？我們用集合之間的映射來定義概念勢！
因為勢是個數的延拓，一個最基本的問題是如何比較兩個勢的大小。一個合理的定義是：
若存在集合A到集合B的單射，則稱A的勢小於等於B的勢。
若A的勢小於等於B的勢，同時B的勢小於等於A的勢，則稱A的勢等於B的勢。
如此在所有有限集下它和之前的個數概念是吻合的，而邏輯上對無窮集合也是合情合理的。
如此，只要簡單的構造一個自然數集到整數集的雙射（即一一對應），
比如，
則得出兩者勢相等，即所謂的個數相同。
大多數人覺得拗不過來的是，整數比自然數多了無數個負整數為啥兩者還同樣多。
這裡面有幾個認知上的錯誤：
1. 即使用個數直觀來理解問題，你可以說整數不會比自然數少，但是要說整數嚴格比自然數多，這就不一定正確了。
因為嚴格多就表示兩者的個數不相同，但對高中生目前為止你知道有關無限個數的描述只有一個，那就是無限個。事實上，你說一個無窮加1會是什麼？會更大嗎？
用勢的標準，答案是沒有變。一個無窮勢不只是加一個有限數不會變大，即使加任何一個不比它大的無窮勢也依然沒有變化。2. 你拿有限情形的狹隘經驗來處理無限情形這樣更加複雜陌生的情景，這是錯誤的，拗不過來是你的心理問題，就像你用在地球上的生活經驗去處理在月球上的生存問題；
最後，關於集合的勢的問題，實際上是集合論的入門話題。集合論這門課更接近純邏輯，屬於數學系裡面不太像數學的數學課程，在大二大三學實變函數的時候需要詳細學習集合的勢。
實際上，這裡面有很多猜想非常難。
比如在整數集和實數集的勢之間是否還存在一個介於兩者的勢。
這是世紀難題,能搞清楚這個看上去簡單的問題的人肯定馬上就成了全世界最好的數學家之一。
請多多關注和點贊，支持原創高質量回答！
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那些年被數學虐的我們?zhuanlan.zhihu.com
前排提醒，
本人只是高中生，
本文信息要仔細甄別！
整體大於部分的直覺是正確的，
構造雙射只能夠證明有理數和整數集合等勢，
如果說一樣多有點不嚴謹。
綜上，先給你的同學普及集合的「勢」是什麼概念
集合的勢_百度百科?baike.baidu.com
構造雙射表示有理數和整數集合等勢，完畢……
如果讀集合論的話，集合論會告訴你自然數和整數一樣多，並且只要兩個集合的元素可以一一對應，那麼它們的元素就是一樣多的，相反的如果一個集合可以單射入另一個集合當且僅當另一個集合可以滿射入這個集合，而如果兩個集合可以互相單射或滿射那麼它們一定可以一一對應。這毫無疑問表現出了「大小」的概念——A單射B表示A不比B多，A滿射B表示A不比B少，如果A既不比B多也不比B少那麼它們一樣多。
但是，就算我們可以用「勢」衡量集合的大小，它的本質其實並非集合的大小，這在司寇倫悖論中得到了體現：集合論有可數模型。此時，模型中的自然數和實數都是可數無窮多個，它們是「一樣多」的，但之所以它們「在模型內不等勢」，僅僅是因為大量的一一對應函數被排除在了模型之外。這個悖論對我們的啟示是，將元素的多少依賴於「一一映射」的做法是奇怪的，我們之所以認為實數多於自然數可能僅僅是因為我們沒有發現如何將它們一一映射（或者說我們認為將它們一一對應的映射不存在），而這並不說明它們無法一一映射。
相較之下，力迫法則直接了當地說明了，雖然兩個不等勢的集合之間不存在集合論意義下的一一映射，但是存在一種無矛盾的數學結構，它將兩個不等勢的集合的元素一一對應，並且這個數學結構的存在性與集合論本身獨立。用數學語言說就是，對於任意一個集合論模型 和基數
，總存在擴張模型
使得
，意即原本不等勢的兩個基數在擴張模型中等勢。因此，我們可以考慮集合論以上的結構，意即由諸如「所有集合構成的「類」」等對象構成的理論。例如以下的公理系統：
綜上所述「多少」其實是一個哲學問題而非數學問題，「勢」和「測度」在一定程度上分別體現出了「多少」的概念，如果選擇勢那麼自然數和整數一樣多，如果選擇「測度」那麼整數就多於自然數了，這就像2L水多於1L水一樣也是極其自然的。
當我們談到無窮的時候，說
存在一個一一對應，就認為它們相等。
而不是說「對於任何對應方法它們都能一一對應」。
這和有限數不一樣。和數數的方法有關係。首先你要確定你所謂的「多」是指什麼。確實兩者可以建立11對應，所以你可以說兩者一樣多。但別忘了，【0,1】區間和【0,2】區間也能一一對應，但他們還有其他比較方法，比如長度（勒貝格測度），我可以說【0,2】比【0,1】多。
所以在回答這個問題前：必須對「多」給出一個評判標準。比如我可以說自然數是整數的一個真子集，所以整數比自然數多，這也沒毛病。
他們的基數都是我的頭像
數學的基本樸素原理：一一對應。這個原理理解了，好多基礎但抽象的數學原理一下就全懂了。教小學的兒子得心應手，從不給他說這是規定。
題外做答：以前有本書叫《什麼是數學》第一篇就是這個。
整體大於部分是對的，但是這兩個東西不是整體和局部但關係。
自然數應該和整數對等，所以一般多吧。
當集合元素數量無限時，用「勢」的概念來衡量元素多少。
對於集合A, B, 若存在雙射f: A→B 使得f(A)=B, 則稱這兩個集合是等勢的
那麼在Z與N之間 可以建立一一對應關係：
0→0，1→1，-1→2，...
即f(n)=2n-1,f(-n)=2n
易證f是雙射
故Z與N等勢。你可以認為「一樣多」。
話說，能不能先查閱相關資料並且思考之後再問這種問題。。。
盡量寫的讓中學生能看懂，一些不嚴謹的地方就略過去了，如果你能看出不嚴謹可以在評論區進一步提問。學過實分析的這部分過於顯然就略過吧。
先說映射，其實映射沒那麼抽象，又非常抽象。萬物皆可映射，中學學的函數其實限制了你的思維。映射是一種人為構建的規則，簡單的例子，桌上三個蘋果，地上三個人，你建立了一個規則，給每個人分了一個蘋果，這就是一個映射。當然前提是一個蘋果【原像】只能分給一個人【像】。一個原像只能有一個像。你可以簡單認為加粗這句映射唯一的規則。
有的人分到不止一個蘋果，這是一個像可以有多個原像，如果一個人最多一個蘋果，這叫單射，如果所有人都有蘋果，這叫滿射，既單又滿，這叫雙射。中學學的函數就是一種要求原像和像都是數的映射。
在實分析理論中，如果一個集合【A】能構建到另一個集合【B】的單射，說明A的勢小於等於B。比如給四個人分三個蘋果，單射很容易構造，這時候｛蘋果｝的勢就小於｛人｝的勢。這個定義顯得非常【自然】，如果不進一步深挖，你完全可以把它當公理。
這個勢你可能從沒聽說過，其實它很雞賊，它就是指集合中有多少個元素。上邊那個例子，｛蘋果｝的勢是3，｛人｝的勢是4。
那麼問題來了，自然數的勢是啥呢？∞？不，自然數的勢是阿列夫零，寫作【自己百度我輸入法里沒有】，長得比較像N?，顯然，這玩意比任何有限的數都大。我們把這個阿列夫零稱作自然數的勢，也就是自然數的個數。
前戲結束，開始正題。有了映射，有了勢，有了上邊那條規則，我們以比大小了。
第一步，自然數的勢小於等於整數的勢。這個很顯然，作個映射，就從自己到自己。顯然單射。
第二步，整數的勢小於等於自然數的勢。這個要動點腦子了。一個簡單的辦法是，把n映射到2n，把-n映射到2n+1，把0映射到1。在這個規則下，每一個整數都映到了不同的自然數里，是個單射。
第三步，有了前兩步，想必你有結論了，二者的勢相等，也就是一樣多。
這裡引申一下，利用這種方法，加上一些巧妙的構造【新的第二步】你還能證明自然數和有理數一樣多。
善用反證法的話，你能證明【不存在一個能把全部實數映到自然數的單射】所以實數比自然數多。
上邊這兩個問題如果你能獨立解答，歡迎學數學，數學是神奇的。
據說是希爾伯特講的故事。
有限個和無限個在概念上很不同。
假設有一間旅館，只有有限個客房，住滿客人後，又來了一個客人，老闆只好告訴他客滿了。
假設有一間旅館，有無限個客房，住滿了自然數（ ），然後所有的負整數又來了。
老闆就讓自然數們都住單號房間（原來住在房號為 的房間，搬到房號為
的房間），讓所有的負整數住到相應的偶數房間。這樣就都住下了。
因此，有限個和無限個有很大的不同。
我們想一個簡單的例子或許是有幫助的，顯而易見 比
多一個數。
如果比較 （自然數加上零）和
（自然數）的多少，你還確定多一個嗎？或者說無窮多個加一個難道不還是無窮多個嗎？為了比較無窮多個的多與少，只能制定一個新的規則：一一對應。即只要能夠找到一條一一對應的法則，則相比較的兩個無窮大就是一樣大的。
對於一般意義上的多少關係，即自然數集的大小，其中一個是無限集合的情況是不可定義的。
為了比較無窮集合的多少，數學上定義了一種集合的特徵，cardinal，
你不要吧 cardinal 理解成通常意義上的個數就是了
7月11更：偶然看到一個視頻
https:youtube.com/watch?v=Uj3_Kqkl9Zo?https:youtube.com---------希爾伯特的分割線----------
結論是一樣多。整體大於部分不僅在這裡不適用，還在別的數學領域也不適用，比如分形幾何。
自然數和整數的基數都是??（念作阿列夫0）。基數是用來比較不同的無限集合的大小的記號。我們首先定義自然數的基數為??。自然數是從一開始的正整數，也就是我們在數數的時候數的序列。只要一個集合可以排個隊，我們就叫它具有可列性，這很直觀，可以排列的性質。顯然可以排列就可以用自然數一個一個數下去，我們直觀地把它叫可數性。我們對一個集合進行數數這個行為，同時也意味著這個集合和自然數集形成雙射，即每一個元素和一個自然數可以以某種方式一一對應。這樣地集合A，就是與自然數集等勢的，其基數也是??。
那麼我把整數這樣排列：0，1，-1，2，-2，3，-3……，既然我都已經舉出至少存在這一種排列方法了，那麼顯然它是可列可數的，你可以用自然數去數它，雖然你永遠數不完，不過反正自然數也永遠用不完。那麼它的基數為??，和自然數等勢。抓住只要能排列出來，就是和自然是集等勢這個點，我們也可以得出有理數也和自然數一樣多。希爾伯特用無限旅館來使這個理論更形象。不過我覺得這對中國人的數理邏輯思維能力而言太形象了，反而畫蛇添足。中國人不需要如此形象，對中國人還是直接上數軸比較好。
其實這種爭論的核心就在於，什麼叫做「一樣多」。你之所以會覺得矛盾是因為數學上對「一樣多「的定義和日常語言中的「一樣多」不完全一樣。
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