其實問題可以轉化為[公式]方程有多少組整數解。

-------------------------------------------5.21-------------------------------------------

其實問題並不能轉化為[公式]，因為C(365+56-1,56-1)不能整除365^56。問題出在，[公式]只對應365情況，而[公式]可以對應365*56！情況。所以，下面的答案並不能回答原題＝ ＝-------------------------------------------5.19-------------------------------------------

我們考慮一些簡單的情況，從一年有8天開始考慮＝ ＝，然後每次遞增21。直到365天：

8天：[公式]29天：[公式]。。。按照這個思路，可以得到遞推公式：[公式][公式][公式]

[公式]

[公式]其中 dividing 表示n的分劃，就是說我要在選幾個數，減去總共21n的方法的數目。例如f(1)表示在一個數上減去21，有C(56,1)=56種方法，f(1,1)表示在兩個數上減去21，有C(56,2)=56*(56-1)/2種方法， f(1,2) 表示在一個數上減21，一個數上減42，有A(56,2)=56*(56-1) 種方法，f(1,2,2,3)表示在一個數上減21，兩個數個數上減42，一個數上減63，有C(56,1)C(56-1,2)C(56-3,1)種方法。例如：dividing number of 4=f(1,1,1,1)+f(1,1,2)+f(1,3)+f(2,2)+f(4)=C(56,4)+3C(56,3)+2C(56,2)+C(56,2)

然後回過神來我發現 dividing number of n 和求[公式]是等價的＝ ＝

就是[公式]

那麼得到遞推公式：

[公式]

[公式]

A18就是我們所求＝ ＝

讓我跑個程序算一下＝ ＝

A[18]=74030513570272582787073375166488629192387402312031330768717985249152占所有可能性的0.019999369715那麼原題目的答案是1-0.019999369715＝0.980000630285

p.s.話說這個和另一個題目有沒有關係啊，就是一根繩子切n刀，最小值的期望是1/(1+n)^2，那麼這道題就是近似於於一根繩子切56刀，最大值的小於20/365的期望。

咋一看覺得很簡單，連續的20天有365種，每種里有345天中給大家用來過生日。

但後來意識到重複的例子還蠻多啊……

先佔個坑，等下嚴肅點認真作答。

——————————————————————

最近太忙，始終沒坐下來認真求解。

受陽林岑的回復（假設一年365天，某班56人，每個人過生日是獨立事件，那麼，「存在連續20天沒人過生日」的概率是？ - 陽林岑的回答）啟發，決定暴力地用計算機求近似值：

Code如下。剛剛一邊吃著晚飯用MATLAB寫著，輕噴：

% Define variables:
nday = 365;
nstudent = 56;
ngap = 20;

% Define samples sizes to test:
%nsample = 1000;
maxpower = 18;
SAMPLE = zeros(1,maxpower);
PROBS = zeros(1,maxpower);

for ipower = 1:maxpower
nsample = 100*(2^ipower);
SAMPLE(ipower) = log10(nsample);

nyes = 0; % Count this through sampling, and then divide by nsample for result

for isample = 1:nsample
% Generate pool of birthdays:
BDAY = zeros(1,nstudent);
for istudent = 1:nstudent
BDAY(istudent) = ceil(rand*nday); % Will be between 1 to 365
end

% Place them in order:
SBDAY = sort(BDAY);

% Process gap between all students:
GAP = zeros(1,nstudent);
GAP(1) = SBDAY(1)-SBDAY(nstudent)+nday;
for igap = 2:nstudent;
GAP(igap) = SBDAY(igap)-SBDAY(igap-1);
end

% Find the maximum gap in this sample:
maxgap = max(GAP);
if maxgap &> ngap % i.e. maxgap is no less than (ngap+1)
nyes = nyes + 1;
end
end

prob = nyes/nsample;
PROBS(ipower) = prob;
end

figure
hold on
grid on
plot(SAMPLE,PROBS,o,MarkerSize,12);
xlabel(log_{10}(N),Fontsize,12)
ylabel(Probability,Fontsize,12)
set(gca,FontSize,11)
ylim([0.955 0.97])
xlim([2 8])

希望有空還是可以解出analytical solution吧??真箇問題還是蠻有趣的，儘管最後的數值結果略高 -_-

這重要嗎

都是大神 開始編碼計算

（364/365）^56??（363/364）^56??（362/363）^56……??（318/319）^56=

等於多少不會計算～前幾天看了點概率論，好像就是這麼計算不複雜的吧……

企圖用純概率的方法來計算失敗以後用R語言寫了代碼來模擬了一下，求輕噴， 過程如下

如果將任意學生的生日日期記為0，其它55個學生的生日用「比第一個學生生日晚多少天「的天數來表示，可以知道，忽略生日的年份，那剩下55個學生的生日數應該在0到364之間。

因此基本思路為生成10000組55個0到364的服從均勻分布（uniform distribution）的隨機數，然後將這10000組隨機數排序，然後數出這10000組裡 存在兩個相鄰數之間的差大於20的 有多少組， 得到一個頻率。。然後將上述過程重複100遍，並求出頻率的均值。

下圖是上述一百次重複得到的頻數，均值大約為449.25，因此頻率約為4.49%。如果將模擬的數據量放大應該會得到更為準確的結果。同時，需要注意的是，我每次生成10000組隨機數並重複100次，而不直接生成1,000,000組隨機數的主要是想看看100次的variance，不過事實上，直接生成1，000，000組隨機數可以有效避免出現小概率的數據情況。

附上R的code：（style什麼的不要介意= =）

count = rep(0, 100)for(l in 1 : 100){ n = 10000; x = rep(0, 55 * n); x = matrix(x, nrow = 55, ncol = n); for(j in 1 : n){ x[,j] = runif(55, 0, 364); } for(j in 1: n){

y = x[,j]

for(k in 1: 55){ x1 = max(y) x2 = x[-match(max(y), y), j] x2 = max(x2) if(x1 - x2 &> 20){ count[l] = count[l] + 1; break } y = x[-match(max(y), y),j]

}

}}plot(count, type = "b", ylim = c(0,1000))mean(count)
大約4.261%------------------------(345^56)/(365^56)
先從365天里選出連續的 20天，有365-20+1種，然後假設每個人都不在這20天里，有345的56次方種，和前面的種類相乘為分子。分母為365的56次方。剩下自己算吧，匿了，答錯了沒臉見高中老師。修改版都在一天的，加都在兩天減都在一天的，加都在三天的減在兩天的和一天的，以此類推到都在345天的。分母不變。祝你成功。

推薦閱讀：
相关文章