Andrey Kolmogorov 俄羅斯

Israel Gelfand 俄羅斯

Ivan Petrovsky 俄羅斯 偏微分方程

Eugene Dynkin 俄羅斯 表示論、隨機過程

Sergei Sobolev 俄羅斯 偏微分方程

Igor Shafarecvich 俄羅斯 代數數論、代數幾何

Vladimir Arnold 俄羅斯 動力系統、辛幾何、代數幾何

柏原正樹 日本 代數分析

Jacques-Louis Lions 法國 偏微分方程

吉田耕作 日本 泛函分析

伊藤清 日本 概率論

佐藤干夫 日本 代數分析

岡潔 日本 多複分析

志村五郎 日本 代數數論

岩澤健吉 日本 代數數論

深谷賢治 日本 辛幾何

中島啟 日本 表示論

Mikhail Gromov 俄羅斯 度量幾何與辛幾何

André Weil 法國 代數數論、代數幾何

Jean Leray 法國 代數拓撲、偏微分方程

Andreas Floer 德國 辛幾何

Jurgen Moser 德國 動力系統、偏微分方程

Friedrich Hirzebruch 德國 代數拓撲、代數幾何

Stefan Muller 德國 數學物理、變分法、偏微分方程

Lev Pontryagin 俄羅斯 代數拓撲、最優控制

Alexandr Alexandroff 俄羅斯 度量幾何

Victor Maslov 俄羅斯 數學物理、流形上的分析

Vladimir Marchenko 烏克蘭 數學物理、反問題

Olga Ladyzenskaya 俄羅斯 偏微分方程

Olga Oleinik 俄羅斯 偏微分方程

Ludwig Faddeev 俄羅斯 數學物理

Yuri Manin 俄羅斯 代數幾何、代數數論、數學物理

Aleksei Pogorelov 烏克蘭 微分幾何、偏微分方程

Louis Nirenberg 加拿大 微分幾何、偏微分方程

Robert Langlands 加拿大 代數幾何、代數數論、表示論

Nikolai Efimov 俄羅斯 微分幾何

Andrey Tikhonov 俄羅斯 拓撲學、偏微分方程、不適定問題、計算數學

Yuri Linnik 俄羅斯 解析數論、概率極限理論、數理統計

Vladimir Platonov 俄羅斯 代數幾何、代數數論

Mark Krein 烏克蘭 泛函分析

Dimitry Anosov 俄羅斯 微分幾何、動力系統

Anatoly Maltsev 俄羅斯 一般代數學、數理邏輯

Yakov Eliashberg 俄羅斯 辛幾何

Vasily Vladimirov 俄羅斯 數學物理、泛函分析

Ilya Piatetski-Shapiro 俄羅斯 表示論、代數數論

Alexandre Gelfond 俄羅斯 超越數論

Oleg Besov 俄羅斯 調和分析

Sergey Nikolsky 俄羅斯 調和分析、逼近論

Nikolay Bogoliubov 俄羅斯 數學物理

Victor Vassiliev 俄羅斯 幾何拓撲

Claude Chevalley 法國 一般代數學、代數幾何、李群

Paul Malliavin 法國 概率論

Jean-Fran?ois Le Gall 概率論

Yves Meyer 法國 調和分析

Jean-Michel Bismut 法國 微分幾何

Vincent Lafforgue 法國 幾何表示論、非交換幾何

Gérard Laumon 法國 代數幾何、代數數論、表示論

Ha?m Brezis 法國 泛函分析、偏微分方程

Jean-Pierre Demailly 法國 多複分析與復幾何

Michèle Vergne 法國 表示論、流形上的分析

Harish-Chandra 印度 表示論

陳省身 中國 微分幾何

馮康 中國 計算數學

Raoul Bott 匈牙利 代數拓撲

Peter Lax 匈牙利 偏微分方程

George Lusztig 羅馬尼亞 表示論

Antoni Zygmund 波蘭 調和分析

Richard Bellman 美國 控制論

沒人提巨佬中的巨佬柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov）么。

查了下時間，柯神生於1903年，第一屆土地獎1936頒發。雖然獎項設立之初是為了鼓勵青年數學家，然而估計是考慮到柯神30歲的時候就發表了現代概率論的創世神作一戰成名，所以才沒有發給他。

至於成就，我相信任何一個受過正規高等數學教育（尤其是分析和概率方向）的學生都應該被柯神所震驚到。典型的俄式天才風格，再多言語都無法形容學高等概率論時被各種柯爾莫哥洛夫定理統治的震撼。而且老爺子還相當會帶學生，教出一票菲爾茲和沃爾夫阿貝爾獎得主。。。（還是有點遺憾，差點就能忝列柯神的學術後代了）

可以再提另一位大佬，S.R.S.Varadhan。對概率方向之外的學生可能沒那麼有名，老人家也是阿貝爾獎得主的。（自己沒那個臉去介紹巨佬的工作，就當給老人家宣傳一下中文世界知名度吧）

Rick Schoen，Simon Brendle都沒拿到菲獎，這年頭靠做微分幾何拿菲獎的難度太太高了。

Gromov據說當年菲獎投票差了一票，輸給了微分幾何的另一位知名大佬。如果投票結果稍微變一下的話，可能中國這20年的數學發展史要改寫了（狗頭）

貢獻很大，但沒拿fields的數學家太多了。下面列舉一些：(當然他們很多人的貢獻太多了，這裡不可能說地很詳細，這裡簡單說一下他們的代表性的成就)

首先從蘇聯開始：

既然評論區有人提到Kolmogorov，那我就把我以前寫的舊文（紀念蘇聯數學家Kolmogorov）再翻出來，再在這裡搬運一遍。（以前那篇文章也是本人所作）

此文紀念蘇聯數學家Kolmogorov，他是20世紀最有影響力的數學家之一.他獲得了1980年wolf獎。他研究範圍幾乎遍及當時除了數論以外的一切數學領域，他在概率論、流體力學（K41-Theory）、數理統計、實變函數論、泛函分析、拓撲學、逼近論、微分方程、數理邏輯、生物數學、演算法資訊理論（Kolmogorov複雜性）、數學基礎論等領域做出來傑出貢獻。他最重要數學貢獻是現代概率論公理化體系創立者。

最初了解Kolmogorov是在他的那本著作《函數論與泛函分析初步》，之後又在動力系統中學到了KAM理論，Kolmogorov-Sinai entropy和Kolmogorov flow。

在學動力系統的時候，接觸到了流體力學，又見到了這位大師的成果。1941年，Kolmogorov在theory of turbulence里寫出了三篇劃時代的論文，這三篇論文奠定了流體力學中最重要的理論之一，即K41-Theory：Turbulence dissipation rate；Kolmogorov 2/3 law; Kolmogorov 5/3 law。K41-theory是20世紀中湍流研究的四大成就之一，它是湍流在20世紀中最為輝煌的一個成果。K41-theory在物理模型之上引入了對於湍流的定量描述。

之後了解了這位大師在概率論上的成就，他是概率論公理化體系創始人。他將其它數學分支（例如：PDE，調和分析，泛函分析，測度論等）的工具引入到了概率論中，使得這些工具可以應用於概率論。他嚴格建立了隨機過程的構造理論（Kolmogorov theory)Kolmogorov是討論擴散過程的最早的一批人之一，他引入PDE的工具來研究

隨機微分方程。Kolmogorov打開了一扇新的大門：他將其它數學工具引入概率論，使得概率論成為更強大的處理實際問題的工具。他在概率論的貢獻有：

kolmogorov 0-1 law；

kolmogorov three-series theorem；Chapman–Kolmogorov equation；Kolmogorov strong law of large numbers；Kolmogorov forward equation；Kolmogorov backward equation；Kolmogorov inequality；

Kolmogorovs continuity theorem ……

在數理統計中Kolmogorov提出了Kolmogorov–Smirnov test……

他的其它貢獻還有：Johnson–Mehl–Avrami–Kolmogorov equation（JMAK方程）;

Fréchet–Kolmogorov theorem;

Kolmogorov–Zurbenko filter;

kolmogorov extension theorem;

Kolmogorovs characterization of reversible diffusions ;

Kolmogorov automorphism……

他同時還是一位最傑出的老師，學生中大師輩出。其中三個最傑出的：Gelfand(1978wolf獎得主，泛函分析與表示論，運算元代數（C*代數），二十世紀最偉大的數學家之一）；V.Arnold(力學，動力系統，微分方程，辛幾何等世界頂級大師)；Yakov.G.Sinai(動力系統，wolf，Abel獎得主)

kolmogorov的以上貢獻都可以在Wiki查的到。

kolmogorov的三個學生：

Vladimir I.Arnold（動力系統，辛幾何）

Israel Gelfand（表示論）

Yakov Sinai（動力系統）

這三位是早已經名震世界的數學大師了。他們雖然沒有獲得fields獎，但他們三人都獲得了wolf獎，Israel Gelfand是第一屆wolf獎的獲得者。

Shafarevich的學生：

Yuri Manin（代數幾何，數學物理）

他的兩個學生Vladimir Drinfeld和Alexander Beilinson拿了2018年的wolf。Drinfeld拿了1990年的fields。

聖彼得堡的兩位:

Mikhail Gromov（微分幾何，辛幾何）

Yakov Eliashberg（辛幾何，切觸幾何）

Gromov自然不用介紹，懂點現代幾何的人都聽說過他。Yakov Eliashberg是辛幾何大家，剛在去年拿了wolf獎（2020）。他有一個很厲害的學生Emmy Murphy，在Northwestern，剛在2018年ICM做45分鐘報告。這兩位雖然沒拿fields，不過他們都拿了wolf獎。

然後是義大利：

Ennio De Giorgi(PDE，變分法，幾何測度論)

他和他的學派對現代分析學有很大的影響。（主要是PDE，變分法，幾何測度論）雖然他沒拿fields獎，不過他也拿了wolf獎。他最好的學生Ambrosio，剛在2018年ICM做一小時報告。Ambrosio的兩個學生Figalli和Camillo de lellis都很厲害。Figalli剛拿18年fields獎。Camillo de lellis在幾何測度論和流體方程做了很大的貢獻。

德國：Friedrich Hirzebruch。（幾何與拓撲）

雖然沒拿fields，但他拿了1988的wolf獎。

法國：

André Weil(代數幾何，數論)

Jacques-louis lions(PDE)

Weil拿了1979年的wolf，Lions的兒子Pierre-Louis Lions拿了94年的fields。

Jean-Pierre Demailly（復幾何）（Université Grenoble Alpes）

說起複幾何不得不提起的一個人就是這位法國復幾何大師Demailly。1994年和2006年ICM Speaker。他可以說是復幾何領域的大師級人物。他寫過兩本書《Analytic Methods in Algebraic Geometry》和《Complex Analytic and Di?erential Geometry》都是復幾何領域的經典之作。Demailly發展了L^2方法，用來研究復代數幾何。他發展了Holomorphic Morse Inequalities並用其研究了 Green-Griffiths-Lang conjecture……他的貢獻還有很多，由於時間限制，我就不說了。Demailly和Siu兩個人對二十世紀的復幾何影響巨大。當然還有一些數學家對復幾何的發展有大貢獻，比如：Claire Voisin，Kodaira（已拿fields，wolf），Christophe Soulé研究的復幾何和Arakelov geometry之間的聯繫。

日本：

Mikio Satō（代數分析） （hyperfunction and microfunction theory,holonomic quantum field theory）

Masaki Kashiwara（代數分析，表示論）(D-module，Riemann-Hilbert correspondence）

Kenji Fukaya(辛幾何，黎曼幾何)（Fukaya category）

Goro Shimura（算術幾何，數論，自守形式）（Taniyama-Shimura Conjecture，在費馬大定理證明中起到了關鍵作用。Shimura Varieties）

Sato拿了2003年的wolf。Kashiwara在2018年ICM上拿了陳省身獎（Chern Medal）。Kenji Fukaya是Simons Center終身教授。Goro Shimura是Princeton的教授。

華人：Yum-Tong Siu（多復變，復幾何），三次ICM報告，Harvard教授。

美國：

John Tate(數論，算數幾何)

Dennis Sullivan(幾何拓撲，動力系統)

Tate拿了2003年的wolf獎。Sullivan拿了2010年的wolf獎，他的學生Curtis Mcmullen（復動力系統）拿了1998年的fields。Mcmullen的學生Maryam Mirzakhani拿了2014年的fields。

Peter Sarnak（動力系統，數論）

(動力系統里的Quantum Unique Ergodicity Conjecture)他數論方面的一些成就，我看知乎上已經有一些文章了，就不談了，我對數論不是很在行。

Princeton與IAS教授，2014年wolf獎得主。

他的學生Akshay Venkatesh剛拿了2018年fields獎。

值得一提的是Sarnak的導師是大名鼎鼎的Paul Cohen，集合論與數理邏輯方向目前為止唯一的一位fields獎得主。Cohen的成名作是《The independence of the axiom of choice》和《The Continuum Hypothesis》

Jürgen Kurt Moser（PDE，Hamiltonian Dynamical Systems），德裔美國人，1995年wolf獎得主。二十世紀分析學的超級大師，他的工作對現代分析學有巨大影響。他的大工作太多了，基本懂些現代分析學的人都或多或少聽過他的名字（Moser）。下面列舉一些：

1.Kolmogorov–Arnold–Moser theorem（哈密頓動力系統里的KAM理論）（知乎上介紹KAM的太多了，沒必要再介紹了）

2.Nash-Moser theorem(這個知乎的文章上也太多了)

3.Mosers Harnack inequality（學過Evans那本PDE的都知道Harnack不等式）

4.Trudingers theorem（Moser–Trudinger inequality）(泛函分析中的一個不等式)

http://5.De Giorgi–Nash–Moser estimates

………

Moser曾經做過MIT和ETH Zürich的教授，曾經擔任Courant Institute of New York University的Director ，還在1983–1986擔任國際數學聯盟的主席。

值得注意的是Moser有個學生叫Paul Henry Rabinowitz，Rabinowitz和Antonio Ambrosetti以非線性泛函中的The Mountain Pass Theorem（山路定理）出名，我在我的另一篇文章介紹過。Rabinowitz還有一個在國內很出名的學生，那就是南開陳省身數學研究所的龍以明院士。

Luis Caffarelli（PDE），2012年wolf獎，分析學大師。他最主要的工作在Free Boundary Problems和Fully Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations（他寫過一本書就叫這個名字）比如著名的：Monge-Ampère equation。Monge-Ampère equation在微分幾何里的重要性自然不用多說。他還和Kohn，Nirenberg 研究了3維不可壓縮Navier-Stokes equation解的部分正則性。

當然他還有很多其它貢獻，我就不細說了，我看知乎上有介紹他的文章。

Gromov，Arnold，Kolyvagin。

其中Arnold是英文維基百科唯一一個說是菲爾茲獎遺漏的，Arnold維基上獲得獎項一欄裡面有菲爾茲獎(很遺憾，現在大陸上不了維基百科)，但是實際上Arnold並沒有獲得菲爾茲，這的確坐實了沒有政治因素，Arnold鐵定獲得1974年菲爾茲獎的傳聞。

Arnold後來多次對自己沒有拿菲爾茲一事耿耿於懷，這麼多莫大師兄弟，Arnold，Sinai，Manin，Kirillov，Anosov，Novikov。

這麼多師兄弟，Novikov拿了蘇聯首個菲爾茲獎。

Arnold作為天賦最高的那個，也許心裡也會不服氣吧！

論發論文之早，Arnold16歲就有論文發表，。

論解決問題，19歲就解決希爾伯特十三問題。

20歲就步入世界一流數學家行列。

論開創數學新分支; Arnold開創了辛拓撲

論提出數學難題給後人留下數學研究飯碗; 提出了好幾個重要的Arnold猜想，夠其他後輩數學博士好好研究一番了。

Arnold在本科時候，1958年，20歲就參加ICM數學報告，這個記錄至今沒有數學家打破。

很多人也將Arnold列為和Gromov一樣的辛幾何圖騰式數學家。

如此說來，Arnold的確應該獲得1974年菲爾茲獎。

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