如圖

egin{aligned} f(A) = f(E_1 E_2 cdots E_s) \ = f(E_1) f(E_2) cdots f(E_s) \ = |E_1| |E_2| cdots |E_s| \ = |E_1 E_2 cdots E_s| \ = |A| \ end{aligned}">

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後三條件是三種初等行變換對函數值的影響。將A進行Ⅰ型，Ⅱ型初等行變換，可得約化行階梯形，記作M，有f（A）=f（M）。由M∈Mn（R）知M為對角矩陣，設對角線元素a11，…，ann。由Ⅲ型初等行變換，則f（M）=Πaii f（E）=Πaii。

將上述過程的f換為det一樣成立，有det(A)=Πaii。：

則f（A）=det（A）成立。證畢。

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只需要證唯一性，即反對稱，在標準正交基上取值為0的n重線性函數是0函數，證明很簡單，故略。

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利用行列式的線性性瘋狂拆就可以得到那個等價的定義:每行每列取一個配一個係數相乘。具體思路你看下面這個就有啟發(ppt來源南科大李才恆的高代)

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