擴展提問：當質數越大時，循環節是否也越長？

追問：當分母質數很大（大於等於13）時，是否存在1/11這種小數循環節很短（2位）的情況？

費馬小定理

質數p和整數a，如果a不能被p整除，則a^（p-1）與1對模p同餘。

取a=10，則10^（p-1）-1是p的倍數，即999……999，一共（p-1）個9，這個數是質數p的倍數。

1=0.999……999……，你每（p-1）個9劃一個循環節，每個循環節可以整除p，這樣就可以得到1/p的循環節。我這就是個說明，不是嚴格證明，意思就是這個意思。

你也可以這麼想，1除以p，你列豎式計算的時候，每次除不盡要在後面補0繼續除，每次產生的餘數都是小於p的，除著除著，最多除（p-1）次，產生的餘數就會跟之前的某一次相等，這樣就會循環了。

當質數p越來越大，整體上看趨勢，循環節是越來越長的，但是會有例外，比如37，這個數的循環節只有3，很短，因為999=37*27。

本質上呢，素數 [公式] 循環節 = 9....9（n個9， [公式] ， [公式] [公式] ）

1/41=0.02439

1/73=0.01369863

1/137=0.00729927

2，5表示懷疑自己什麼時候被開除出質數圈子了

但對除了2，5其他質數做分母的既約分數都成立。

1/2：0.5（不循環）

1/7：0.(142857)循環

1/11：0.9 (09)循環

當（質數）分母大於11時，不會出現2位循環節，簡單證明：

1/99=0.010101...

所以任何小於99的質數（除11）均不會有二位循環節，否則與該分母是質數矛盾。同時證明了大於99時的質數分母不會存在2位循環節，否則將是1/(11的倍數)而不是1/質數。

一位循環節（的必要條件）：1/(3k)

二位（充分不必要）：1/(11k)等

三位（充分不必要）：1/(27k)等

六位（充分不必要）：1/(7k)等

etc.（大概是這樣，還是去翻論文吧。）

歡迎來杠，畢竟不是很懂數論。

不一定 那1/5呢 不就是0.2 不過這是由於十進位本身的性質決定的 5是10的真因子 不過確實質數為分母循環的情況很多 關於無限循環小數 你可以看看談祥柏教授的一篇文章 循環節的長短 會有啟發

這個不好說，至少無法嚴格證明，只能觀察基本是，例外也很多，比如1/137的循環節只有8位，而1/23的循環節有22位。

對於任意既約分數（即分子與分母互質的分數），只有在其分母素因子只含2或5時，該分數化為小數後是有限小數.

推薦閱讀：
相关文章