挪威科學與文學院 3 月 19 日宣布，將 2019 年度阿貝爾獎授予美國-荷蘭數學家卡倫·烏倫貝克，以表彰她在現代幾何分析等領域的成就。烏倫貝克是第一位獲得這項國際性數學大獎的女性數學家。

eta]"> 。現在我們考慮在實現 [公式] 的映射中找能量最小的調和映射。那麼這個映射應該是什麼樣的呢？首先，它應該就是 [公式] 。但另一方面，如果我們用一個 [公式] 的連續映射來實現 [公式] ，它的像應該是 [公式] 、 [公式] 以及他們倆之間相連的一條曲線（很可能是測地線）。但是共形映射是要保持角度不變的，但在曲線上一個方向完全塌縮了，所以，這樣的集合是不可能由共形映射來參數化的（進而不可能是調和映射）。

為了克服這個難點，Sacks-Uhlenbeck觀察到並提出了冒泡(bubbling)收斂的概念。在第一個難點中，Sacks-Uhlenbeck用擾動的調和映射來找到一個極限。在這個收斂過程中，能量會聚集在某一些點附近。首先，Sacks-Uhlenbeck發現在能量不聚集的地方，這個極限過程一定會收斂到一個光滑的調和映射；其次，在能量聚集的地方，可以用爆破（blow up）的方法重新參數化得到另一個光滑的調和映射！用這種方法，Sacks-Uhlenbeck可以很好地刻畫一個收斂過程，得到的極限不是一個單獨的調和映射 [公式] ，而是一系列 [公式] 的組合，這也就是所謂的冒泡收斂。

至此，Sacks-Uhlenbeck解決了閉流形里極小曲面的存在性問題。

這個結果十分精彩，但只是一系列故事的起點。極小曲面問題作為變分法的核心模型，方法和思想上的革命帶來的是許多其他變分問題的突破。這其中最精彩的故事自然是Uhlenbeck本人在Yang-Mills聯絡上的一系列工作。其中最重要的兩個工作是：

Uhlenbeck, Karen K.Removable singularities in Yang-Mills fields.Comm. Math. Phys.83(1982), no. 1, 11–29.

Uhlenbeck, Karen K.Connections withLpbounds on curvature.Comm. Math. Phys.83(1982), no. 1, 31–42.

我不是規範理論的專家，所以只能大家說一說故事的走向。給定一個四維緊流形上的主叢，我們可以定義Yang-Mills能量，Yang-Mills能量的臨界點就是Yang-Mills聯絡。人們當時已經知道，Yang-Mills聯絡的模空間包含了許多重要的幾何和拓撲信息。但這個模空間比較複雜。首先，Yang-Mills能量在一個規範群的作用下是不變的，而這個規範群也很大；其次，一列Yang-Mills能量有界的聯絡的收斂理論（即緊性）也不清楚。

值得注意的是，這些問題和調和映射的相關問題非常相似！Uhlenbeck應該也是注意到了兩個問題中的相似之處，開始思考Yang-Mills理論的問題。這一系列工作最終成為了規範幾何（gauge theory）的奠基工作，不但為Donaldson理論奠定了基礎，也為之後一系列的規範理論劃定了框架。後來的規範理論發展時的出發點往往就是Uhlenbeck所研究的緊性與冒泡收斂的結構。

獻醜回答一下我知道的幾個:

1.1981年的Sacks-Uhlenbeck 里研究了二維的調和映射，我覺得最有意思的兩個可以說是現象級的技術，方法就是 後來被人稱之為 "小能量正則性" 的 trick以及Bubbling也就是我們在考慮某些特殊的能量泛函和其對應的 Euler-Lagrange 方程的時候， 如果在局部，其能量足夠小，我們可以得到解的正則性，奇點，爆破解在這裡面不會發生，反之我們可以用Blow UP吹出Bubble 來研究。這成為幾何變分問題，幾何流的常用方法，為無數人提供了飯碗。高維的推廣就是 Schoen-Uhlenbeck 的工作。

應用層面，Gromov受到此工作的啟發研究 Pseudo-holomorphic curves 序列的收斂問題，提出了Cusp-Curves 的概念，成為偽全純曲線模空間緊化的重要工具。今天被稱為 Gromov-Compactness, 因為到辛流形的非常值偽全純曲線也必是極小曲面，Cusp curves也是在奇點附近吹Bubble得到的。這部分不太了解，歡迎做辛幾何的大佬補充。

2.1982年發表在CMP的兩篇奠定 Yang-Mills 理論分析基礎的論文。Yang-Mills 方程對比一般的橢圓PDE的難點在於他根本不是橢圓方程，多了個規範變換的自由度，這個時候選取合適的Gauge以得到正則性就成為了這項工作的真正難點。可以粗略地認為這也是一種類似調和映射的小能量正則性，只不過我們要求曲率的LP範數有界，其中P足夠大，這個時候經過適當的規範變換我們可以得到YM方程解序列的強收斂性，詳細論證可以參考Uhlenbeck Compactness.

應用層面，啟發了Donaldson早年關於ASD模空間的研究。

3.1986年和Yau證明了最一般情形的Hitchin-Kobayashi對應，也就是緊的一般維數的K?hler流形。多年前為了水一篇小文章仔細讀過這篇論文，被最後一部分夠找Sub-sheaf那裡二位先生強大的偏微分方程和多複分析能力深深震撼到了，這部分的簡化證明直到2003年才由Demailly的一個博士生完成:A simple proof of a theorem by Uhlenbeck and Yau

僅僅只說自己對sacks uhlenbeck的一些理解。筆者是從colding minicozzi的書上看來的這部分知識。sacks uhlenbeck主要的定理就是可以用調和映照來表示流形的第二個同倫類。這就需要構造出調和映照。然而平常的變分方法並不適用（p.s條件）然而對調和映照的能量泛函做一個指數上的擾動，就能有p.s條件，也就可以得到擾動泛函的極小映照。將擾動的係數取到1的極限就是一般的調和映照的泛函。所以就看這一族擾動映照的在參數往一趨近的極限是不是調和映照就行了。

這裡分兩種情況，當這些擾動映照的一階導一致有界的時候，可以很好證明收斂到調和映照。而當無界的時候會有一個子列在有奇點以外的地方收斂。將奇點填平（removable of singularity），產生出所謂的bubble off現象，就構造出了所需的調和映照。

如果想構造floer同調，需要證明floer方程解的moduli space是一維的緊緻流形。（這就是那些橫截，緊化的意義）把floer equation取代調和映照的位置用類似的手法（hofer lemma）。緊化moduli space的障礙就是會出現類似於sacks uhlenbeck那樣的bubble off。在辛流形上附加條件可以阻止這種bubble off否則可能就需要所謂的virtual技術。（對於calabi yau流形和fano流形，不需要virtual技術，見hofer salamon）

自己學這些東西花了三年，大四的時候完全憑藉微積分看這些，也完全能夠看懂。後來在看就是floer同調，幾何的問題更首要。最近學了些變分法在看這個結果就又能看出別的東西。自己也會想學了三年都不能完全「看全」這樣24頁的論文…筆者最初讀的幾何分析方面的論題當然是yau的calabi猜想，和positive mass了。以calabi猜想為例，其中的橢圓方法非常多，但是並沒有看到裡面是否有變分方法……另一個彌補沒有p.s條件的例子是yamabe問題。

比如1981年與Sacks的合作the existence of minimal immersions of 2-spheres中提出的bubbling，後來被Gromov用於pseudoholomorphic curve.

Uhlenbeck的成就在於用自己的經歷破除了土著的許多謬論：

  1. 土著認為女性研究數學不如男性，但Uhlenbeck的數學成就完爆幾乎所有男性。
  2. 土著認為如果PhD和postdoc期間做不出好工作，成為了faculty之後就沒有那麼多時間和精力做出好工作了，工作質量只能逐年下降，而Uhlenbeck直到PhD畢業9年後的1977年，才在Acta上發表了自己的第一篇重要論文。
  3. 土著認為數學家到了40歲就進入了事業下滑期，而Uhlenbeck在40歲這一年卻剛剛開始走上生涯的巔峰，Uhlenbeck-Sacks，Uhlenbeck compactification，Uhlenbeck-Schoen等等被寫進教科書的經典工作都在這一年完成，1986年又發表了Uhlenbeck-Yau，證明了gauge theory上里程碑式的重要定理。
  4. 土著認為必須要進入Harvard，MIT這樣的學校才有可能成為頂尖的數學家，動輒拿所在機構鄙視別人，而Uhlenbeck是在Brandeis拿的PhD。
  5. 土著認為做兩輪postdoc就找不到工作，但Uhlenbeck在半個世紀前就做過兩輪postdoc。要知道，在她那個時代許多人根本不用做postdoc，做兩輪postdoc是極其罕見的，差不多相當於在這個時代的四輪postdoc。
  6. 土著什麼工作都不做，卻總想著要生活安定，要去頂尖機構，而Uhlenbeck在她職業生涯的巔峰期卻一直在顛沛流離，換了多次工作，照樣沒有影響她寫出經典論文。
  7. 土著認為只有那些發到四大上的工作才是頂級工作，但赫赫有名的Uhlenbeck compactification卻低調地發表在Communications in Mathematical Physics上。

Uhlenbeck成功的一個重要原因是，她在幾何分析剛剛興起的階段，就想到要關注gauge theory方面的問題，儘管當時這並不是主流微分幾何學家所關心的問題。這使她用自己的技術證明了諸多重要結果，而Donaldson的工作也建立在她的緊化定理的基礎之上。要知道，她當時已經接近40歲了，而另外兩個在gauge theory上做出過重要貢獻的數學家，Taubes和Donaldson，都比她小十幾歲，而她的思想卻比年輕人更加開放，始終保持著對新鮮事物的熱情。因此，年輕人千萬不能隨大流，一定要敏銳地認識到哪些方向即將得到蓬勃的發展，一旦意識到這是個有前途的方向，就要果斷地投入時間和精力，決不能在沒有前途的地方多浪費時間。

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