乘法是必須的嗎？

既然乘法可以用加法表示，那理論上還有乘法存在的必要嗎？
作為乘法的逆運算，除法可以用加法表示嗎？只有一種運算的群還不夠嗎？為什麼還需要兩種運算的環？

正整數乘法可以用多次加法來定義，但說到底這個計算也是研究被加數與加法的次數的結果，加法本身不考慮「次數」這個概念。既然考慮了新的概念與這個概念衍生出來的性質，那理論上就有存在的必要了。

更重要的是抽象。正整數的乘法可以用多次加法表示，但有理數就不再是了。還有更多乘法與加法關係不大的，比如矩陣的乘法。既然是考慮抽象代數，乘法和加法的兩個運算就不再有「乘法可以用加法表示」這回事，而只有諸如分配律之類的公理關係。

抽象一個好處就是在一個背景下得到的結論可以用在另一個看起來不相干的地方。比如數論中的 Fermat 小定理 / Euler 定理可以看成是群論中 Lagrange 定理的推論，這說明數論中的該定理其實只需要素數剩餘類乘法方面的性質，那麼把它用在其他群上也成立。這是個從特殊到一般再到未知的特殊的過程，挺有用的。