群論在數學分析中的應用？

最近剛學到群論，了解了一些群論在常微分方程、拓撲學中的應用，但總感覺群論在數學分析中的應用較少，想請教一下群論在分析中使用的例子，或者群論可以解決哪些分析中的問題

Peter-Weyl定理是說對於任何compact Lie group 而言，它的matrix coefficients在中dense。所謂的matrix coefficient，是一個函數，其中是finite-dimensional representation，而是linear map。

這個定理實際上等價於任何compact Lie group都同構於matrix group。因為假如是matrix group，那麼Peter-Weyl定理是Stone-Weierstrass定理的推論。

雖然在歷史上，這個定理的證明更像是分析在表示中的應用，但你也可以繞過Peter-Weyl，用別的辦法證明compact Lie group都是matrix group，所以這實際上也可以看成是群論在分析上的應用。

謝邀，其實在分析中有一個分支里群本身就是研究的重點：群上的傅立葉分析。rudin其實除了有名的三本分析外還寫了一本「Fourier seires on groups」，談的就是這個問題（其實他本人的研究方向就是這個）。其實傅立葉分析和群本身的關係是「天然的」。當然了，這裡的群是具備拓撲結構的，比如是locally compact的Hausdorff space。並且這個拓撲結構得和群結構相融，也就是群中的乘運算是連續的。當群是交換的情況，結果會簡明清晰不少。這類群叫LCA群。我們分析中一般遇到的經典拓撲群基本都是這類：等。你會發現在這些群上可用一套非常統一的方式建立起傅立葉變換和相關的重要的概念：卷積、傅立葉變換、對偶群和基礎性的定理：Plancherel Theorem，Poisson Summation Formula。當然了，即使對於不交換的情況，這些重要定理，比如Plancherel Theorem也能成立（比如對於type I group）.Poisson Summation Formula 在非交換推廣下就是Selberg Trace Formula。然後就是representation theory 中的一個重要分類：group representation。其中最有名的定理 Peter-Weyl定理，它描述的就是（非交換）緊群在上的regular representation 的分解。也就是把regular representation分解成irreducible finite-dimensional unitary representations的直合。如果群是可交換的，那麼這個結果就是Plancherel Theorem的推論。Peter-Weyl定理可以應用到解決希爾伯特第五問題上（當然是緊的情況下）。群上的傅立葉分析不只是在分析中本身很重要，也是研究量子力學（ Heisenberg群）解析數論（Dirichlet L-function）和hyperbolic surface （Selberg zeta function）的重要工具。

讓我們限定到LCA群上簡單的談一談，首先你可以利用構造或者不動點的方法證明它一定存在一個(非負)的平移不變的random measure，我們一般管它叫Haar measure. 有了這個測度，那麼就能在它上面做積分了。特別的，我們可以定義卷積 .

我們把從的(非零)連續群同態叫做character。所有這些character可以組成一個交換群，我們管它叫的對偶群。如此，我們就可以定義上的傅立葉變換。

這個公式其實就統一了本科遇到的兩種傅立葉變換：當的時候，它的對偶就是 ,而當的時候，對偶是 . 由於這兩個對偶的元素本質上是由和。所以也寫成發現，

傅立葉變換有一個重要的作用，它可以讓我們把交換代數上的最大理想構成的空間和對偶群一一對應. 也就是說，

這個對應可以讓我們把的拓撲帶到上。而且這個拓撲能讓也變成一個LCA群。利用交換運算元代數中的定理，你就能把傅立葉變換看成是從到的 -homomorphism 而且能保證傅立葉變換的值域是稠密的。如果我們把嵌入到（）. Youngs convolution inequality能保證這個嵌入是成功的。這個嵌入的好處是能讓延展成成一個 -algebra . 從而 Gelfand-Naimark 能保證傅立葉變換是從到的 isometric -isomorphism.也就是說，

這個其實已經得到了傅立葉變換是單射的，並且順帶證明了一般的Riemann-Lebesgue Lemma。既然對偶群也是LCA的，它自然也有Haar measure。不過Haar measure不是唯一的，一般差一個常數。通過恰當的構造方法，你可以得到一個Plancherel measure，這個measure能保證

這裡的0是單位元，自然我們需要假設是 . 然後通過平移，我們就得到了Inversion Formula

然後你會發現引導的從到的群同態是稠密的。然後還能進一步證明是一個拓撲群同構，也就是說 . 然後利用和一個稠密性結果可以得到Plancherel Theorem，也就是傅立葉變換本身一個從到的unitary equivalence。設是的一個閉子群，那麼

是一個LCA group的exact sequence，它的對偶

也是exact sequence。由此我們得到Poisson Summation Formula

這個公式的特別情況就是上的特殊情況，也就是幾乎出處成立。

到這裡就是LCA group的基本結構。算是基礎中的基礎。 representation theory，ordered group 上的spectral decomposition等等以後有機會再說。還有，很多教材（Rudin）上提到的positive definite functions和Bochners theorem我也沒提到。這也是通往 Pontryagin Duality/inversion Formula的第二條路徑。

PS: 我也困了，該睡覺了，最近生物鐘完全紊亂，今天有發生了事，估計今晚更難睡了。

可能代數拓撲的一些結論能給你點提示（當然這個問題可能更拓撲一點），比如說拓撲度和積分的關係，廣義介值定理，球面有非零連續切向量場當且僅的球面是奇數維圖形，地球上氣壓和溫度連續的話則有關於球心對稱的兩點有同樣的溫度和氣壓，這些起因都是同調群

在複分析中的應用:

全純自同構群.

黎曼映照定理.

群論和數學分析都建立在集合的基礎上，群論討論一般性的集合，數學分析討論實數集合。群論賦予集合一般性的運算規則，數學分析在實數範圍內不僅有加減乘除還定義了距離等等。

可以說，數學分析是建立在一個比較理想化（或者比較完美的模型—實數）集合的。群論則適用於更廣泛的賦予一定運算規則的集合。

給予數學分析所研究的對象的存在奠定了理論基礎。然而，數學分析里似乎用不到群論的知識，就算線性代數的知識也只是很小一部分。事實上，近世代數研究的是關係和規則，而分析學主要研究變化依規則的結果。

1.一個流形如果是李群就有許多好性質。比如李群同構能打到流形之間的diffeomorphism.

2.微分形式的定義要用一點置換群。

3.流形的上同調群。可以用來證明很多東西，比如毛球定理。

4.想強行把群論加到數分上還是挺容易的，只要弄一些和函數有關的層就行。比如[0.1]上的有界連續函數，這是個presheaf，他的associated sheaf是[0.1]上的連續函數。