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自然數是什麼?這個問題有兩種不同的回答方式:

1.直觀的,自然數就是平時我們數的數啊,0,1,2,3,4...他反應了所謂的個數

2.數學上怎麼嚴格的定義自然數:要說到數學上的定義,我們需要知道數學的基礎是集合論,即萬物皆集合,從而自然數的定義也是落實到了具體的集合.在數學裡面自然數是這樣定義的:

所以,要數學上的解釋自然數是什麼,我認為關鍵即解釋:為什麼要這樣定義,下面簡單的列舉幾點理由:

1. 可以由集合論的公理推出存在性,即這樣全體的自然數構成一個集合
2. 有自然的序關係,即定義 ,從而全體自然數構成全序集,可以排成一排
3. 它確實反應了「個數」，即一個集合的元素個數是n個(這裡的n個是指我們平常數數用的自然數，沒有定義，是一種元語言)當且僅當它可以和n這個集合進行一一對應,且這些集合之間互相不一一對應.(由上面一個括弧，這條並不是一個數學定理，但是通過數數我們也可以相信這是對的，比如3這個集合確實有3個元素)
4. 可以定義加法和乘法,並且滿足:若兩個不交集合的分別和 一一對應,則它們的並集和 一一對應.(這正是我們生活中的加法,1個蘋果+2個蘋果=3個蘋果的意思就是一個蘋果和兩個蘋果的並集有三個蘋果),同樣若兩個集合和 分別一一對應，則它們的笛卡爾積和 一一對應.
5. 歸納法成立( 是良序集)

根據上面幾條，我們可以認為數學中的定義是合理的，

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自然數是集合

0:={}

1:={0}

2:={0,1}

3:={0,1,2}

...

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(define (N i)
(if (&<= i 0) () `(,@(N (- i 1)) ,(N (- i 1)))))

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自然數是一個集合，該集合的元素被稱為自然數，必須滿足以下公理。

• 有一個元素，我們叫它0，0是自然數
• 每個自然數在集合中都有一個後繼數，其也是自然數
• 0不是任何自然數的後繼數，
• 不同自然數的後繼數也必然不同。
• 如果某命題在n=0時成立，且證明了如該命題對於自然數S成立，則對於S的後繼也必定成立，則該命題對於全部自然數都成立。

如果我們用++來表示後繼，自然數可記為：

0，0++，（0++）++，（（0++）++）++……

然後為了表示方便，你可以用01234，零一二三四，I,II,III,IV……或其他符號來指代這個序列。

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建議看看陶哲軒《實分析》

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自然數在數學上有很多種定義方式。

好像還沒有答主講皮亞諾公理，在這裡我來講一下吧。與依賴於集合論的定義方式不同，皮亞諾公理最初是不依賴集合論的。這樣題主如果沒接觸集合論的情況下就能對自然數的一些基本性質有所了解。不過這兩種定義方式在結果上沒什麼不同，前面答主提到的定義方式是能推出皮亞諾公理。

在說公理之前，首先要提到的是這是一個描述性而不是構造性的公理系統，即是我們假定自然數已經存在，但是什麼樣的我們還不知道，這些公理描述了自然數的一些基本性質。

公理1

0是一個自然數

有一點值得注意的是，皮亞諾最初對這個數使用的符號是1，而不是0。這僅僅只是符號上的差別而已，但是0和1在別的領域有很多不同的意義，（比如0往往被用作加法單位元），所以現在我們往往用的符號是0。

公理2

有這樣一個「後繼」函數 ，對所有的自然數 都有定義，且 也是一個自然數。

公理3

0不是任何自然數的後繼，即是不存在這樣的自然數 ，使得 。

公理4

公理2-4一起定義了自然數的後繼。從直覺上來看，我們可以把這個自然數的定義過程看成從0開始往後數數，而這個數數的過程就是「後繼」。不過就像我們之前提到的一樣，這是一個描述性而不是構造性的公理系統。我們這樣做的目的是給出能夠推出自然數性質的一組最小的前提條件，而不是構造能滿足我們需要的自然數。也正是因為這樣，我們需要確保我們描述的就是自然數，而不是一些別的東西。目前，這4個公理還不能良好地描述自然數，比如舉一個例子，以下的偽自然數集：

這樣描述不是很嚴謹，一方面我們用到了「集合」這個概念，另一方面，我們還不知道0.5,1是什麼。不過這只是用來表達一種思想。首先這個集合中，我們讓0的後繼是1，1的是2... 而另一方面，讓0.5的後繼是1.5，1.5的是2.5... 很易看出，這些數滿足公理1-4，但是並不是我們想要的自然數。所以在此之外，還有最後一條公理：

公理5——數學歸納法公理

假設有對所有自然數都有定義的一個命題 滿足這樣的條件：

1. 是真的

則 對所有自然數都是真的。

另外，皮亞諾剛開始還描述了自然數關於相等關係的4個公理：

(1)

(2)

(3)

(4) 若 是自然數，且 ，則 也是自然數

不過現在相等關係的公理一般被歸在數學基礎邏輯的公理里，它們的描述對象也從自然數被拓展到了一切數學對象。

隨後，我們為了把我們現在的符號系統施加到自然數上，我們定義：

我們現在可以定義一些別的東西，比如加法了。我們的直覺是： 就相當於 ，1+2無非是把 施加在1上2次而已，即是 。而把 替換為1+1，2替換為 我們得到： 於是我們把加法定義如下：

(1)

(2)

遞歸地，根據定義，我們得到：

...

根據公理5，我們很易證明加法對所有自然數都有定義：

首先 是自然數。

現在假設加法已經對 有了定義，結果也是一個自然數，則 也是自然數。這完成了數學歸納。

那麼，現在我們已經對算數的基本原理有了一定了解，就讓我們來看一下下面這個簡單的例子，來吧我們剛剛學到的知識運用到實踐中吧。

額放錯圖了，習題應該是這樣的：

證明2+4=6

證明：

嗯看起來我們已經描述完我們常用的加法了。不過加法的一些性質我們還不能用，比如最基礎的交換律。沒關係，現在我們就來證明一下吧：

定理1：加法滿足交換律，即是對自然數

證明:先證明兩個引理。

引理1：

使用公理5:首先 。然後假設 已成立，則 。數學歸納法公理保證了我們的命題成立。

引理2：

使用歸納法：首先 。假設 已經成立，則

這完成了數學歸納 。

接下來對 使用歸納法，剛才我們已經證明了： 。則假設 已經成立，則

數學歸納法公理保證，加法交換律成立 。

由於篇幅原因，什麼結合律，自然數的序（大於小於這些的），減法，乘法，這裡就不再說了，大家感興趣可以自己去找一下相關內容。不過相信通過這個過程，我們已經對自然數是什麼有了更深刻的理解。

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